Rappresentazione grafica di funzioni

Per introdurre le funzioni è possibile scrivere la loro espressione analitica mediante le quattro operazioni + - * / ,la potenza ^ , le parentesi tonde; le precedenze con le quali vengono svolte le operazioni sono le solite; inoltre si possono usare le funzioni che sono rappresentate, a differenza di come si fa di solito, da un solo carattere, dopo l'identificatore di funzione è possibile anche omettere la parentesi es. s5 significa sin(5).

Sono inoltre presenti gli operatori

minimo e max rappresentati da & ed | per esempio 6&2 vale 2 mentre 4|2 vale 4. Questi operatori possono essere usati come operatori logici et e vel se si considera come vero 1 e come falso 0. Nell'uso di questi operatori bisogna fare attenzione che per quanto riguarda le precedenze sono equiparati ai segni moltiplicativi pertanto non hanno la precedenza sulle addizioni e sottrazioni, occorre, quando è necessario usare le parentesi.
maggiore e minore rappresentati da > e < che danno come risultato 1 se la relazione è vera e 0 se è falsa esempio 5>3 vale 1 mentre 3>1 vale 0. Questi operatori, per quanto riguarda le precedenze sono equiparati ai segni additivi, fare attenzione alle precedenze: per esempio la scrittura x+3 > 2 ha il significato usuale mentre per dare il significato usuale all'espressione x+3>2x+1 occorre aggiungere la parentesi: x+3>(2*x+1)

La funzione da rappresentare va scritta nella casella in alto senza farla precedere da y= o altro, e cliccare nel tasto rappresenta. Il grafico può essere spostato tenendo premuto il con il mouse e portandolo nella posizione desiderata. E' possibile ingrandirlo o rimpicciolirlo utilizzando i pulsanti inferiori.

Precedenze

funzioni (vedi sotto)

potenza ^ ( definita solo con base positiva o nulla o con esponente intero dispari)

moltiplicazione e divisione minimo e massimo rappresentati dai simboli * / & |

addizione e sottrazione maggio e minore rappresentati dai simboli + - > <

Funzioni

a corrisponde al valor assoluto es. a5 =5 a(-46)=46

s corrisponde a seno in radianti

c corrisponde a coseno in radianti

t corrisponde a tangente in radianti

r corrisponde a radice quadrata

i corrisponde a parte intera es. i5.6=5

f corrisponde a parte decimale es. f2.89=0.89

e corrisponde a esponenziale

l corrisponde a logaritmo naturale

b corrisponde all'arcotangente

p è la costante pigreco

g rappresenta il segno ( 1 se >0 , -1 se <0, 0 se è zero)

- è l'opposto

Sintassi ( la barra verticale significa "oppure", gli oggetti in parentesi graffa possono essere ripetuti da 0 a n volte.)

cifra :: = 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

identificatore di funzione :: = s | c | t | a | l | r | e | b | i | f | g

segno moltiplicativo :: = * | / | &| | |

segno additivo :: = + | - | > | <

intero :: = <cifra> { <cifra> }

numero :: = <intero> | <intero> . <intero>

fattore :: = <numero> | ( <espressione> ) | <identificatore di funzione> <fattore>| x | p | k |

potenza :: = <fattore> { ^ <fattore> }

termine :: = <potenza> { <segno moltiplicativo> <potenza>}

espressione :: = <termine> {<segno additivo> <termine>}

Comandi

Nella casella di scelta in alto a sinistra si può selezionare:

Grafico per rappresentare la funzione.

Segno per rappresentare le zone nelle quali la funzione è positiva o negativa o non è definita, vengono cancellate le zone "proibite"

Asintoti o per rappresentare gli eventuali asintoti obliqui o orizzontali

Derivata per rappresentare la funzione e la sua derivata e cercarne gli eventuali zeri, basta cliccare in prossimità di uno di essi.

Derivata 2 per rappresentare la funzione e la derivata seconda e cercarne gli eventuali zeri, come sopra.

Primitiva per rappresentare una qualsiasi primitiva, per sceglierne una passante per un punto si deve cliccare nel punto.

Integrale per calcolare l'integrale definito della funzione tra due estremi assegnati trascinabili..

Zeri per calcolare l'intersezione con l'asse x col metodo di Newton, basta cliccare vicino, e il programma trova il punto di intersezione

Tangente per tracciare la tangente e scriverne l'equazione.

Taylor per scrivere il polinomio di Taylor in un dato punto e rappresentarlo.

Nella casella di testo in alto si deve scrivere la funzione che non deve essere preceduta da y= o altro,

Premendo il pulsante Disegna viene rappresentata la funzione

Il pulsante reset permette di ridisegnare la funzione con i parametri di partenza.

nella parte inferiore Z Xx2 Z X/2 Z Yx2 Z Y/2 Zx2 Z/2 servono per raddoppiare la finestra in direzione x, dimezzarla e analogamente in direzione y, e contemporaneamente

Con il pulsante parametrica si attiva o si disattiva una serie di comandi per variare il valore del parametro k, il cursore di sinistra modifica il valore di k mentre i due pulsantini di destra definiscono i limiti di k kmin, kmax.

Con il pulsante traccia si attiva un puntino sul grafico che può essere trascinato con il mouse e che permette di seguirne l'andamento.

E' possibile inoltre spostare tutta la finestra grafica trascinandola con il mouse in un punto qualsiasi.

ESEMPI

1) Rappresentare la funzione y = ( x² - 1)/( 3 x³-2)

Scrivere nella casella in alto

(x^2-1)/(3*x^3-2)

e cliccare disegna, scegliere, con i tasti zoom una opportuna finestra grafica

Per studiarne il segno scegliere l'opzione Segno: vengono colorate le zone nelle quali la curva non deve essere disegnata, quando è positiva si scurisce la parte al di sotto dell'asse x e viceversa.

Per trovare gli zeri si scegli l'opzione zeri e cliccando in prossimità di essi si osserva che la funzione si annulla per x=1 e -1 come d'altra parte è facile calcolarli per via algebrica.

Si studiano gli asintoti orizzontali e si vede che l'unico è l'asse x.

Si studiano i massimi e i minimi scegliendo l'opzione derivata e si osserva che il grafico verde della derivata si annulla in quattro punti corrispondenti a due massimi e due minimi, per calcolarne i valori basta cliccare in loro prossimità, verranno indicati gli estremanti con i moro valori.

In modo analogo si studia la derivata seconda per trovare i flessi.

2) Tracciare il grafico di una funzione definita a tratti

Y=x^2-1 per x>1 y=-x+1 per x <1

E' sufficiente scrivere:

(x^2-1)*(x>1)+(1-x)*(x<1)

ovvero moltiplicare ciascuna parte di funzione per il proprio dominio

3) Rappresentazione di un fascio di curve dipendenti dal parametro k

Y= x+k(x-1)²

Si tratta di un fascio di parabole tangenti ad una retta y=x se si scrive

x+k*(x-1)

e si attiva parametrica, variando il valore di k con il cursore si possono disegnare tutte le parabole e, tracciando la tangente nel punto 1 si può osservare che sono tutte tangenti alla stessa retta.

4) Risolvere l'equazione: cos(x)=0.01*x²-1

Si scrive nella casella in alto

cx-0.01*x+1

si osserva, dopo aver opportunamente scelto lo finestra grafica con i tasti zoom, che la curva interseca l'asse x in dieci punti distinti, pertanto l'equazione avrà dieci soluzioni reali, si scegli la finestra zeri e si clicca in prossimità di essi facendo attenzione di non spostare il mouse, verranno scritte le soluzioni dell'equazione data.

5) Risolvere il sistema di disequazioni

X² -5X+6
---------- >0
X+2

X² > 1

Si dovrà scrivere:

((x^2-5*x+6)/(x+2)>0)&(x^2-1>0)

e si vedrà la rappresentazione grafica delle soluzioni infatti l'operatore > dà come risultato 1 se è vera la disuguaglianza e 0 se è falsa, inoltre l'operatore & dà il minimo che in questo caso svolge le veci della congiunzione logica.

6) Risolvere la disequazione irrazionale: (x²+8x+15)^0.5 >3x-5

può essere risolta direttamente scrivendo r(x^2+8*x+15)-3*x+5 e confrontando le soluzioni con quelle che si possono trovare con metodi classici. Oppure si può scomporre il problema in due sistemi di disequazioni

e scrivere

((x^2+8*x+15>0)&(3*x-5<0))|((x^2+8*x+15>(3*x-5)^2)&(3*x-5>0))

che corrisponde al solito metodo che viene insegnato a scuola per la risoluzione di disequazioni irrazionali di questo tipo.

7) Discutere le soluzioni dell'equazione parametrica : senx +2cos x- k =0 con 0 < x < pi/2.

Per rappresentare la funzione solo nell'intervallo desiderato si scrive:

(sx+2*cx-k)*(x>0)*(x-p/2<0)

in modo che la funzione venga moltiplicata per 1 solo nell'intervallo indicato e per zero altrove.

Si attiva con il pulsante parametrico e si variano i valori di k, se si attiva l'opzione zero è possibile trovare le soluzioni dell'equazione per i diversi valori di k. in particolare si può discutere il numero e la natura delle soluzioni al variare di k e verificare che coincidono con quelle trovate algebricamente.

Questo procedimento è interessante non tanto per questi casi che possono essere risolti facilmente ma per tutti quei casi che non possono essere risolti in modo elementare.

8) Verifica dei limiti

Se vogliamo verificare il lim (x-->2) (x²/(x-2)= infinito)

basterà digitare:

a(x^2/(x-2))>ak

scegliere l'opzione parametro e verificare che per ogni valore del parametro k otteniamo sempre un intorno del punto x=2. Si osserva che l'intorno si assottiglia per valori grandi di k

In modo analogo digitando

a(x^2-1)<ak

si verifica il lim(x-->1)(x²-1)=1

osservando che l'intorno si assottiglia per valori piccoli di k.

Grafico in coordinate polari

Per la rappresentazione di grafici in coordinate polari si procede in modo del tutto analogo a come si fa per le coordinate cartesiane considerando x come l'anomalia i tasti lungo e corto servono evidentemente per allungare o accorciare il tratto di grafico rappresentato.

Esempi di funzioni in coordinate polari:

Spirale di Archimede : x

Spirale iperbolica 1/x

Spiarale logaritmica e(k*x) con k parametro

Retta y=mx+q : q/(sx-m*cx) naturalmente q ed m vanno sostituiti da valori numerici.

Conica con fuoco nell'origine 1/(1-e*cx) dove e è l'eccentricità 0<e<1 ellisse e =1 parabola e>1 iperbole. Per osservare la variabilità della conica al variare dell'eccentricità si può porre l'eccentricità uguale al parametro k, attivare il tasto parametro e scrivere nella casella in alto 1/(1-k*cx), agendo sul tastino del parametro si possono osservare tutti i tipi di conica.

Epicicloide 1-k*cx , al variare di k si possono studiare diversi tipi di epicicloide.( Cardioide se k=1)

Asteroide o ipocicloide a quattro punte 1-c(4*x)

Lemniscata di Bernoulli r(c(2*x))

Strofoide c(2*x)/cx

Quadratrice di Dinostrato x/cx

Trisettrice di Mac-Laurin 4*cx-1/cx

Concoide di Nicomede 1/cx + k con k parametro

Concoide del cerchio o Lumaca di Pascal cx + k con k parametro