di Massimo Fantin 2003

La maggior parte delle equazioni non possono essere risolte con una successione finita di passaggi, ma è necessario utilizzare dei metodi numerici, iterativi che permettano di giungere alle soluzioni per successive approssimazioni. In questo studio ho scelto i più noti:

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Metodo di Newton

Metodo delle secanti

Metodo della "Regula falsi"

Metodo di bisezione

Metodo del punto unito

Ho realizzato un programma di simulazione per la rappresentazione grafica del procedimento iterativo per raggiungere le soluzioni con i diversi metodi.

Istruzioni per l'uso del programma di simulazione

Programma di simulazione

Per risolvere l'equazione f(x) = 0 si deve conoscere la derivata f '(x), Si prende un valore iniziale x₀, si costruisce la retta tangente alla curva di equazione y = f(x) nel punto della curva di ascissa x₀, la si interseca con l'asse x di equazione y = 0, ottenendo il punto (x₁,0) , si ripete la stessa operazione partendo da x₁ , si ottiene una approssimazione migliore x₂ e così via , si ripete il procedimento fino a che la differenza tra due successive approssimazioni diventa minore di un valore eps prefissato.

Facendo i calcoli si ottiene, a partire da x₀ come punto iniziale, il seguente metodo iterativo:

E' una variante del metodo di Newton, segue la stessa logica con la sola differenza che la retta tangente è sostituita da una secante, questo metodo può essere applicato quando non sia nota la derivata della funzione. Si parte da due punti x_a, x_b, si traccia la retta per i punti A(x_a,f(x_a)), B(x_b,f(x_b)), la si interseca con l'asse x trovando (x₀,0) , si sostituisce il punto A con B, il punto B con (x0,f(x₀)) e si ripete l'iterazione fino a che la differenza tra una approssimazione e quella successiva non è minore di eps prefissato.

Facendo i calcoli si ottiene, a partire da A e B il seguente metodo interattivo:

Si può osservare che quest'ultima formula è simile a quella di Newton con il rapporto incrementale al posto della derivata.

Il metodo della "regula falsi" consiste nel partire da due approssimazioni della soluzione cercata, x_a, x_b uno per eccesso e uno per difetto, in modo che risultino discordi in segno i valori della funzione f(x_a) ed f(x_b) , si calcola x0 come nel metodo delle secanti e infine lo si sostituisce con quel valore tra x_a ed x_b che è concorde in segno con x0.

Questo metodo non può essere applicato per trovare le soluzioni doppie in quanto non si ha il cambiamento di segno.  

Il metodo di bisezione consiste nel partire da due approssimazioni della soluzione cercata, x_a, x_b uno per eccesso e uno per difetto in modo che risultino discordi f(x_a) ed f(x_b) come nel metodo precedente, si sceglie x0 semplicemente calcolando la media tra i due, poi si procede alla stessa sostituzione del metodo precedente.

Questo metodo è il più semplice ma è piuttosto lento.

Il metodo del punto unito è diverso dai precedenti in quanto permette di trovare le soluzioni delle equazioni del tipo
x = f(x), consiste nell'applicare successivamente la funzione stessa a partire da un dato valore x₀:

E' necessario però che la successione così costruita converga ad un determinato valore, è evidente che se tale successione converge, il limite di tale successione sarà una soluzione dell'equazione data. Si dimostra anche piuttosto facilmente che , se f è derivabile e |f'(x)|< m < 1 la successione converge, mentre se questa condizione non è soddisfatta non possiamo dire nulla sulla sua convergenza.

Il metodo del punto unito può essere utilizzato per risolvere le equazioni del tipo f(x) = 0 semplicemente trasformandola nella equazioni al punto unito del tipo x = F(x) con F(x) = k ( f (x) ) + x, dove k, potendo assumere qualsiasi valore non nullo, viene scelto in modo da rendere convergente la successione x _n+1=F(x_n) .

Il programma realizzato in java permette di introdurre la funzione f(x) che deve essere scritta mediante la stessa sintassi del programma funzioni che può essere consultato anche per le istruzioni relative all'uso dello zoom, del parametro k . Si può scegliere anche il valore di Eps usando i tasti in basso a destra. Si sceglie il metodo iterativo tra le opzioni in alto a sinistra,

• Newton puoi cambiare il punto di partenza che viene visualizzato con un pallino colorato, trascinandolo con il mouse. Vendono visualizzate le successive approssimazioni
• Secanti puoi cambiare i due punti di partenza trascinandoli con il mouse. Vendono visualizzate le successive approssimazioni
• Regula falsi puoi cambiare i due punti di partenza trascinandoli con il mouse. Vendono visualizzate le successive approssimazioni se è possibile.
• Bisezione puoi cambiare i due punti di partenza trascinandoli con il mouse. Vendono visualizzate le successive approssimazioni se è possibile.
• Punto unito puoi cambiare il punto di partenza trascinandolo con il mouse . Le zone nelle quali non è soddisfatta la condizione di convergenza vengono colorate di grigio mentre rimangono bianche le zone nelle quali si ha la convergenza; pertanto se si posiziona il punto di partenza in una zona bianca nella quale ci sia una soluzione ne osserveremo la convergenza.

Per risolvere l'equazione del tipo f(x) = 0 ,come detto nella parte teorica, si risolve l'equazione x = k(f(x)) + x scegliendo un opportuno valore di k in modo che la soluzione cercata rientri in una zona di convergenza cioè in pratica si trovi in una zona bianca, si posiziona il punto iniziale in tale zona e si osserva la convergenza.

ESEMPIO

Si voglia risolvere l'equazione x³- cos x = 0

Si scriva nella casella in alto x^3-cx senza lasciare spazi vuoti, che, nel nostro linguaggio significa x³- cos x

Si posiziona in uno dei metodi :

• Newton: si sceglie il valore iniziale e si osservano le iterazioni, si nota che se la scelta del punto iniziale è importante per la rapidità con la quale si giunge alla soluzione che è in pratica il punto in cui la curva interseca l'asse x..
• Secanti : si scelgono due punti, per esempio entrambi dalla stessa parte della soluzione e come sopra si osservano le iterazioni fino a giungere alla soluzione.
• Regula falsi: si scelgono due punti iniziali da parti opposte della soluzione e , come sopra.
• Dimezzamento . come sopra.
• Metodo del punto unito : Si scrive nella casella in alto della funzione: k*(x^3-cx)+x e si attiva il pulsante in basso: "parametro", si sposta il cursore posizionato a destra fa variare il valore di k. Si osserva che al variare di k la curva cambia ma non cambiano i punti di intersezione con la bisettrice y = x anch'essa rappresentata, punti che rappresentano le soluzioni dell'equazione cercata. Si cerca un valore di k che renda la successione convergente, bisogna che diventi bianca una zona intorno alla soluzione cercata, si sposta il punto di inizio in tale zona, si osserva che nel giro di poche iterazioni si giunge alla soluzione. Se si scegli in modo opportuno il valore di k si può giungere velocemente alla soluzione.