di Massimo Fantin 2006
Il problema di Diriclet può essere così sintetizzato: data una
funzione "sufficientemente regolare" definita su una circonferenza
unitaria trovare una funzione armonica definita nell'interno della circonferenza
che costituisca un prolungamento della funzione data. ( Naturalmente
questa non è una definizione rigorosa, non è questo lo scopo del mio lavoro
che invece si prefigge di fornire delle idee).
Ricordo che per funzione armonica intendiamo una funzione in due variabili
doppiamente derivabile tale che sia soluzione dell'equazione di Laplace:
in simboli si scrive anche
Per risolvere il problema di Diriclet si può far riferimento alla teoria delle funzioni olomorfe, non mi inoltro nelle questioni che si possono trovare su qualche manuale di analisi complessa. Dall'analisi complessa sappiamo che le funzioni complesse appunto ( per chi non lo sapesse) hanno un comportamento piuttosto differente da quello delle funzioni di variabile reale. Per esempio le funzioni olomorfe cioè derivabili in senso complesso se sono derivabili una volta lo sono indefinitamente, e inoltre la condizione di olomorfia è così forte che una funzione olomorfa individuata su un aperto di C può essere prolungata su tutto il dominio. inoltre tutte le funzioni olomorfe sono analitiche nel senso che è localmente sviluppabile in serie. Inoltre sia la parte reale che la parte immaginaria di una funzione olomorfa sono funzioni armoniche. Quindi, per risolvere il nostro problema basta cercare una funzione olomorfa la cui parte reale sulla circonferenza corrisponda alla funzione data. Ora c'è un'altra proprietà della funzioni olomorfe che ci permette di ricostruire lo sviluppo analitico della funzione studiandone gli integrali lungo la circonferenza unitaria:
la funzione di partenza è data da:
In sintesi conoscendo la funzione olomorfa sulla circonferenza possiamo prolungarla all'interno.
Per costruire a funzione armonica che prolunghi la funzione data si costruisce la funzione olomorfa come detto sopra e si prende la parte reale.
Oltre alla costruzione della funzione nell'interno del cerchio unitario si può anche costruire una funzione armonica all'esterno semplicemente immaginando di trasformare i punti esterni in quelli interni e viceversa mediante la funzione. z-> 1/z.
in pratica si ottengono i coefficienti cn calcolando gli integrali analoghi a quelli di prima cambiando semplicemente il verso di percorrenza, mentre f(z) si calcola cambiando segno agli esponenti di z.
Uso del programma di simulazione
L'applet Java permette, data una funzione definita in coordinate polari inserita nella finestra in alto ( per la sintassi vedere il programma Funzioni) di costruire due funzioni armoniche una definita nell'interno della circonferenza e una all'esterno che ammettono la funzione data come condizione al contorno . Le due funzioni sono limitate in particolare al centro della circonferenza la funzione armonica assumerà il valore medio della circonferenza, lo stesso all'infinto.
i tasti m+ e m- rendono più grandi o più piccoli i pixel
i tasti interno ed esterno permettono di separare le rappresentazioni delle funzioni armoniche nell'interno e nell'esterno della circonferenza.
di Massimo
Fantin