Consideriamo una sorgente di energia raggiante (P), di dimensioni abbastanza piccole da poter essere vista come puntiforme. Tra tutte le direzioni di propagazione dell’energia irradiata, rappresentate da raggi rettilinei radialmente uscenti da P, consideriamo solo un fascetto infinitamente sottile di tali raggi che attraversano una superficie infinitesima ds, normale alla direzione dei raggi incidenti e distante L dalla sorgente [20]. Se indichiamo con dW l’energia che la sorgente lancia nell’unità di tempo dentro il cono infinitesimo, la quantità:
si definisce intensità luminosa del fascio, in
altre parole l’energia che riceve la superficie ds nell’unità
di tempo (energia ricevuta per unità d’area e per unità di
tempo).
L’intensità del fascio decresce con l’allontanarsi dalla sorgente;
pertanto in due sezioni ds1 e ds2 entro
lo stesso cono a distanze L1 e L2,
il flusso di energia irradiata si ripartisce dando luogo a:
con L1 < L2 .
Ricordando che le sezioni normali di un cono hanno aree proporzionali
ai quadrati delle distanze dal vertice, si ottiene come conclusione che
l’intensità del fascio è inversamente proporzionale al quadrato
della distanza:
Poniamo L2 = 1 e indichiamo I = J2, detta l’intensità del fascio a distanza unitaria, avremo:
Nel caso in cui la normale di ds è, invece, inclinata di un angolo q rispetto alla congiungente L, l’intensità luminosa J*(L) (detta anche illuminamento) diventa:
Da notare che la grandezza I è anche definita come intensità luminosa di una sorgente P in una determinata direzione L, infatti: I = dW/dW come è facile ottenere dalla (1) tenendo conto del legame:
Supponiamo adesso che la sorgente sia una superficie infinitesima di area dS con la normale inclinata di un angolo a rispetto alla congiungente L. Allora l’intensità luminosa dI dell’elemento di sorgente è data da:
dI = Lum × dS × cosa.
Il parametro introdotto Lum, detta luminanza, è caratteristico della sorgente luminosa. L’illuminamento dovuto all’elemento di sorgente dS sulla superficie ds è dato da:
Partiamo dalla formula (2) per dimostrare il nostro caso. Innanzi tutto immaginiamo che la nostra sorgente luminosa sia un cerchio di raggio R e la dividiamo in aree di larghezza infinitesima:
Il fattore 2 davanti alla radice compare per aver considerato i contributi dei due semicerchi di sole. Con riferimento alla figura 1, fissiamo un punto di ascissa x1 sul piano illuminato dal sole attraverso una fenditura di larghezza l. Possiamo immaginare tale punto illuminato da un insieme di fascetti luminosi infinitamente sottili (raggi), provenienti da superfici infinitesime comprese nell’intervallo di estremi x1 e x2 come e illustrato in figura 1. Quest’intervallo può avere una lunghezza tale da essere contenuto all’interno del diametro del sole (2R), oppure contenere lo stesso diametro; la validità dell’una o dell’altra condizione dipende da alcune grandezze geometriche: distanza terra-sole (H), la larghezza della fenditura (l), distanza fenditura-CCD (h) e lo steso diametro del sole. Ogni sorgente luminosa di tale intervallo contribuisce, dunque, all’illuminamento dell’elemento di superficie di ascissa x1;
Fig 1 - Rappresentazione geometrica dell’illuminamento del sole attraverso una fenditura di ampiezza l, sul piano della CCD.
pertanto l’intensità di illuminamento nel punto considerato, essendo una grandezza misurabile, sarà data dalla somma dei rispettivi contributi delle sorgenti appartenenti a [x1 , x2 ]:
avendo, in questo caso, a=q
ed espresso la dS in funzione di x.
Da alcune considerazioni geometriche, tenendo conto dei riferimenti,
segue che:
e sostituendo nella (3):
Come è stato accennato in precedenza, spostando il punto di ascissa x1 cambiano gli estremi di integrazione, dunque la posizione dei punti x1 e x2 sull’asse x : essi sono uguali a -R o R (o viceversa) se cadono al di fuori del cerchio, mentre sono uguali a:
se cadono entro il cerchio. Per la soluzione dell’integrale (4) si è fatto uso del programma MatLab. Si sono calcolati due profili di intensità di illuminazione corrispondenti a diverse aperture della fenditura. Come si può osservare dalle seguenti figure, nel primo caso (fenditura più larga), la distribuzione presenta un plateau nella zona centrale mentre ai bordi diminuisce velocemente a zero. Un tale andamento è spiegabile con il fatto che la maggior parte dei contributi all’illuminazione della CCD da parte del sole si trova proprio al centro della distribuzione, mentre spostandosi da tale punto i contributi diminuiscono sia in numero sia in intensità. Per fenditure più piccole il plateau tende a scomparire e la curva tende ad una semiellisse.
Fig 2 - Andamento dell’intensità luminosa per l = 0.5 mm.
Fig 3 - Andamento dell’intensità luminosa per l = 0.1 mm.
Fig 4 - Andamento dell’intensità luminosa per l = 0.01 mm. La curva si è praticamente ridotta ad una semiellisse.
Le curve ottenute sono simmetriche rispetto all’asse della
fenditura. Non disponendo di una funzione analitica, corrispondente alla
distribuzione della intensità luminosa, si è ritenuto ragionevole
assumere (la fenditura impiegata è molto stretta, circa 1/10 di
mm) per le varie simulazioni eseguite, un semicerchio invece delle curve
illustrate.