3.1 La diffusione termica

La diffusione di droganti in niobato di litio è una tra le tecniche più studiate e consolidate nella realizzazione di guide di luce. Questo metodo consiste nel depositare un film di materiale drogante sul cristallo 'puro' per sputtering o per evaporazione mediante fascio elettronico; il film viene fatto diffondere in profondità ad alte temperature (tra gli 800 e 1000 °C, per qualche ora), in modo tale che la zona drogata abbia un aumento di indice di rifrazione e funga perciò da guida. Il drogante più usato è il titanio che nel niobatio di litio produce un aumento degli indici di rifrazione straordinario e ordinario proporzionale alla sua concentrazione, senza alterare le proprietà elettro-ottiche del substrato. Altre sostanze droganti usate sono metalli quali nickel, cobalto, oro, argento, e terre rare come l'erbio [25]. Il gradiente di concentrazione del drogante al tempo t, $\nabla \cdot c (\vec r, t)$, induce un flusso di materia in un mezzo isotropo:

$$\vec \jmath (\vec r, t)= - D \nabla \cdot c (\vec r, t)$$ (3.1)

equazione nota come prima legge di Fick. D è il coefficiente di diffusione, dipendente dalla temperatura, dalla composizione del substrato ed in generale dalla concentrazione del drogante.
Nell'ipotesi in cui $\frac{\partial D}{\partial c}=0$, combinando l'equazione (3.1) con l'equazione di continuità:

$$\frac{\partial c(\vec r, t)}{\partial t}=- \nabla \cdot \vec \jmath (\vec r, t)$$ (3.2)

si ottiene la seconda legge di Fick [14]:

$$\frac{\partial c}{\partial t} = D \left( \frac{\partial^2 c}{\par... ...}+ \frac{\partial^2 c}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 c}{\partial z^2} \right)$$ (3.3)

Nella realizzazione di guide planari viene depositato un film di spessore h e concentrazione c₀ su una superficie del campione, ed il problema della diffusione diventa unidimensionale:

$$\frac{\partial c(x, t)}{\partial t} = D \frac{\partial^2 c(x, t)}{\partial x^2} ,$$ (3.4)

In generale, la soluzione dell'equazione differenziale (3.4) è del tipo [14]:

$$c(x,t)=\frac{A}{\sqrt{t}}exp\left( - \frac{x^2}{4Dt} \right)$$

con A costante determinata dalla conservazione della massa:

$$c_0 h=\int^{+\infty }_{0} c(x,t) dx$$ (3.5)

Per una sorgente di spessore infinitesimo dx, la soluzione è:

$$c(x,t)=\frac{2 \rm {d}\xi c_0}{\sqrt{\pi}d}exp\left( - \frac{x^2}{d^2} \right)$$ (3.6)

dove $d=\sqrt{ 4Dt}$ è la profondità di propagazione e t è il tempo di diffusione. Per film di spessore h il problema con le seguenti condizioni al contorno:

$$\left\{ \begin{array}{ll} c(x, t=0) = c_0 & -h<x<0 c(x, t=0) = 0 & x>0, x< -h \end{array} \right.$$ (3.7)

si risolve considerando la concentrazione nel punto P (si veda la figura 3.1), dovuta ad uno spessore di film infinitesimo dx, da cui P dista x:

$$\frac{2 \rm {d}\xi c_0}{\sqrt{\pi}d}exp\left( - \frac{\xi^2}{d^2} \right)$$

e integrando su x:

$$c(x,t)=c_0 \left[ {\rm erf}\left( \frac{x+h}{d} \right) - {\rm erf}\left( \frac{x}{d} \right) \right]$$ (3.8)

dove erf è la error function definita da:

$$\rm {erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0 ^x exp(-\eta^2) d\eta$$

Figura 3.1: Diffusione da sorgente di spessore finito h.

Dopo un tempo t_d, detto depletion time, il film viene completamente esaurito e, per tempi $t \gg t_d$, la diffusione si può considerare da film 'sottile'; l'equazione (3.8) è cioè approssimabile ad una gaussiana, ottenuta dalla (3.6) con dx = h:

$$c(x,t)=\widehat{c}_0 \exp \left(-\frac{x^2}{d^2}\right)$$ (3.9)

dove $\widehat{c}_0$:

$$\widehat{c}_0=\frac{2 h c_0}{\sqrt{\pi} d}$$ (3.10)

è la concentrazione di drogante in superficie (x=0). L'errore nell'approssimazione è minore dello 0.5% per spessori h~50 nm [10]. La dipendenza dalla temperatura del coefficiente di diffusione D è espressa dalla legge di Arrhenius:

$$D(T)=D_0 \exp \left(-\frac{Q}{k_B T}\right),$$ (3.11)

con D₀ costante di diffusione, k_B costante di Boltzmann e Q energia di attivazione. Nella realizzazione di guide a canale si utilizzano tecniche fotolitografiche per la deposizione di un film di una fissata larghezza 2w (fig. 3.2).

Figura 3.2: Schema del processo di diffusione per una guida a canale.

Durante la diffusione termica il drogante penetra in profondità, ma diffonde anche lateralmente. La soluzione dell'equazione (3.3) nel caso di film sottile è del tipo:

$$c(x,y,t)= \frac{h c_0}{2 \sqrt{\pi} d_x w} \exp \left(-\frac{x^... ...ft( \frac{y+w}{d_y} \right) - {\rm erf}\left( \frac{y-w}{d_y} \right) \right]$$ (3.12)

con d_x e d_y profondità di diffusione nelle due direzioni, che differiscono per substrati anisotropi.

Guide di luce in niobato di litio drogato con ferro per applicazioni olografiche
Barbara Imperio
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