La diffusione di droganti in niobato di litio è una tra le tecniche
più studiate e consolidate nella realizzazione di guide di luce.
Questo metodo consiste nel depositare un film di materiale drogante sul
cristallo 'puro' per sputtering o per evaporazione mediante fascio elettronico; il film viene fatto diffondere
in profondità ad alte temperature (tra gli 800 e 1000 °C, per qualche
ora), in modo tale che la zona drogata abbia un aumento di indice di rifrazione
e funga perciò da guida. Il drogante più usato è il
titanio che nel niobatio di litio produce un aumento degli indici di rifrazione
straordinario e ordinario proporzionale alla sua concentrazione, senza
alterare le proprietà elettro-ottiche del substrato. Altre sostanze
droganti usate sono metalli quali nickel, cobalto, oro, argento, e terre
rare come l'erbio [25]. Il gradiente di concentrazione del drogante al tempo t,
, induce un flusso di materia in un mezzo isotropo:
(3.1)
equazione nota come prima legge di Fick. D è il coefficiente di diffusione, dipendente dalla temperatura, dalla composizione del substrato ed in generale dalla concentrazione del drogante.
Nell'ipotesi in cui
, combinando l'equazione (3.1) con l'equazione di continuità:
Nella realizzazione di guide planari viene depositato un film di spessore h e concentrazione c0 su una superficie del campione, ed il problema della diffusione diventa unidimensionale:
(3.4)
In generale, la soluzione dell'equazione differenziale (3.4) è del tipo [14]:
con A costante determinata dalla conservazione della massa:
(3.5)
Per una sorgente di spessore infinitesimo dx, la soluzione è:
(3.6)
dove
è la profondità di propagazione e t è il tempo di diffusione. Per film di spessore h il problema con le seguenti condizioni al contorno:
(3.7)
si risolve considerando la concentrazione nel punto P (si veda la figura 3.1), dovuta ad uno spessore di film infinitesimo dx, da cui P dista x:
e integrando su x:
(3.8)
dove erf è la error function definita da:
Figura 3.1: Diffusione da sorgente di spessore finito h.
Dopo un tempo td, detto depletion time, il film viene completamente esaurito e, per tempi , la diffusione si può considerare da film 'sottile'; l'equazione
(3.8) è cioè approssimabile ad una gaussiana, ottenuta dalla (3.6) con dx = h:
(3.9)
dove
:
(3.10)
è la concentrazione di drogante in superficie (x=0). L'errore nell'approssimazione
è minore dello 0.5% per spessori h~50 nm [10]. La dipendenza dalla temperatura del coefficiente di diffusione D è espressa dalla legge di Arrhenius:
(3.11)
con D0 costante di diffusione, kB costante di Boltzmann e Q energia di attivazione. Nella realizzazione di guide a canale si utilizzano tecniche fotolitografiche per la deposizione di un film di una fissata larghezza 2w (fig. 3.2).
Figura 3.2:
Schema del processo di diffusione per una guida a canale.
Durante la diffusione termica il drogante penetra in profondità, ma diffonde anche lateralmente. La soluzione dell'equazione (3.3) nel caso di film sottile è del tipo: