2.1 La propagazione guidata

Una guida di luce è un dispositivo ottico che permette di confinare e trasportare un segnale luminoso, senza significative perdite in intensità e distorsioni; esistono guide planari (o slab), a canale e fibre ottiche (fig. 2.1). Le guide di luce slab e a canale sono gli elementi basilari dei dispositivi ottici integrati, mentre le fibre ottiche vengono usate per interconnessioni tra dispositivi su brevi e lunghe distanze.

Figura 2.1: Esempi di guide di luce: planare, a canale, fibre ottiche.

Per descrivere la propagazione guidata della luce si possono utilizzare due approcci, quello geometrico, molto intuitivo, e quello ondulatorio, che fornisce informazioni sul campo elettromagnetico associato all'onda luminosa.
Il concetto di confinamento della luce dal punto di vista geometrico è molto semplice: un materiale dielettrico con una zona a più alto indice di rifrazione è in grado di guidare i raggi di luce all'interno della zona ad indice maggiore attraverso riflessioni totali alle interfacce con le zone ad indice minore (si veda ad esempio la figura 2.6). Dal punto di vista ondulatorio, invece, il problema è analogo a quello di un elettrone in una buca di potenziale. Alla luce di questa analogia, si può quindi intuire come la propagazione della luce in una guida avvenga secondo modi discreti.

In un materiale dielettrico, non birifrangente e non assorbente, con permettività dielettrica relativa $\varepsilon_{r}(\vec{r})$ dipendente dalla posizione, e suscettività magnetica nulla, le equazioni di Maxwell sono:

$$\left\{ \begin{array}{ll} \nabla \cdot (\varepsilon_{r}(\vec{r}) ... ...r}) \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{array} \right.$$ (2.1)

con

$$c^{2} = \frac{1}{\varepsilon_{0}\mu_{0}}$$

velocità della luce nel vuoto. In assenza di cariche libere ($\rho=0$) e di corrente ($\vec{j}=0$), le (2.1), per onde elettromagnetiche piane, nel dominio della frequenza (in trasformata di Fourier) diventano:

$$\left\{ \begin{array}{ll} \nabla \cdot (\varepsilon_{r}(\vec{r}) ... ...\frac{\omega}{c^{2}} \varepsilon_{r}(\vec{r}) \vec{E} & \end{array} \right.$$ (2.2)

Mediante passaggi algebrici si ottengono le equazioni per il campo elettrico (equazione di Helmholtz) e magnetico:

$$\nabla^{2} \vec{E} + \varepsilon_{r}(\vec{r}) \frac{\omega^{2}}{c... ...silon_{r}(\vec{r})} \vec{E} \nabla \cdot \varepsilon_{r}(\vec{r}) \right) = 0$$ (2.3)

$$\nabla^{2} \vec{B} + \varepsilon_{r}(\vec{r}) \frac{\omega^{2}}{c... ...{r})} \nabla \cdot \varepsilon_{r}(\vec{r}) \times (\nabla \times \vec{B} ) = 0$$ (2.4)

Ottenendo $\vec{B}$ da $\vec{E}$ tramite la seconda delle equazioni di Maxwell, è possibile limitarsi allo studio dell'equazione di Helmholtz (2.3).

Figura 2.2: Soluzioni equazione di Helmholtz.

In una guida d'onda, l'indice di rifrazione è generalmente costante lungo la direzione di propagazione della luce, perciò per propagazione lungo z:

$$\varepsilon_{r}(\vec{r})= \varepsilon_{r}(x,y,z,\omega)= \varepsilon_{r}(x,y,\omega)=\varepsilon_{r,t}$$

$$\frac{\partial \varepsilon_{r,t} }{\partial z}=0$$

dove il pedice t indica la dipendenza dalle sole coordinate trasverse (x,y).
Il campo elettrico associato ad un'onda piana monocromatica, che si propaga lungo z, in una guida di luce con funzione dielettrica relativa $\varepsilon_{r,t}$ reale, si può scrivere:

$$\vec{E}(x,y,z,t)= \vec{E}_{t}(x,y,t) e^{i(\omega t - \beta z)}$$ (2.5)

con costante di propagazione:

$$\beta = \frac{2 \pi}{\lambda}\varepsilon_{r,t}$$

L'equazione di Helmholtz (2.3) diviene così un'equazione agli autovalori per $\vec{E}_{t}$:

$$H_{E} \vec{E}_{t} = [\nabla_{t}^{2} + \varepsilon_{r,t} \frac{\om... ...on_{r,t}} \vec{E}_{t} \nabla \cdot \varepsilon_{r,t} )] = \beta^{2} \vec{E}_{t}$$ (2.6)

dove $\nabla_{t}^{2}$ e $\nabla_{t}$ sono il laplaciano e il gradiente rispetto alle coordinate (x,y). Lo spettro dell'operatore H_E è mostrato in figura 2.2, e consiste di:

-

una parte discreta con b²_m positivo e compreso tra i valori

$$k^{2}_{0}\varepsilon_{\infty} \le \beta^{2}_{m} \le k^{2}_{0} \textrm{max} \varepsilon_{r}$$

con

$$k^{2}_{0}= \left( \frac{2 \pi}{ \lambda}\right)^{2}= \frac{ \omega^{2}}{c^{2}}$$

modulo quadro del vettore d'onda nel vuoto, e $\varepsilon_{\infty}$ valore della costante dielettrica relativa a distanza infinita dalla zona guidante (in pratica del substrato), e $\textrm{max} \varepsilon_{r}$ il massimo valore assunto da $\varepsilon_{r}$; a tali b_m corrispondono gli m-esimi modi guidati della luce nella zona ad indice di rifrazione maggiore

-

una parte continua con b² positivo e compreso tra i valori

$$0 \le \beta^{2} \le \varepsilon_{\infty} k^{2}_{0}$$

cui corrispondono modi di substrato, che si estendono per tutta la guida e si attenuano a brevi distanze

-

una parte continua con b² negativo (b complesso); tali modi vengono detti radianti in quanto irradiano la loro energia all'esterno della guida.

Guide di luce in niobato di litio drogato con ferro per applicazioni olografiche
Barbara Imperio
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