1.2.6 Effetto fotovoltaico e fotorefrattivo

In un monocristallo piroelettrico (nella fase ferroelettrica) uniformemente illuminato, si manifesta l'effetto fotovoltaico, cioè l'apparizione di una corrente di corto circuito di densità pari a [48]:

$$j_{i}=\sum_{lk}\alpha_{ilk}E_{l}E_{k}^{*} \qquad i,l,k=x,y,z$$ (1.12)

dove E_l e E_l^* sono le componenti complesse del campo elettrico associato alla radiazione incidente, e le componenti a_ilk del tensore fotovoltaico sono tali che le correnti j_x e j_y sono trascurabili^1.2 rispetto a j_z. In particolare, se un cristallo di niobato di litio viene illuminato con luce blu o verde, i portatori di carica presenti in difetti, impurità, e soprattutto eventuali droganti, vengono fotoeccitati [34]. Se il cristallo è drogato con metalli come ferro, rame o manganese, i portatori di carica sono essenzialmente elettroni provenienti dal drogante, che è presente in due stati di valenza diversa. Nel caso del ferro:

$$\textrm{Fe$^{2+}$} + h\nu \longleftrightarrow \textrm{Fe$^{3+}$+ $e^{-}$(conduzione)}$$

Perciò nel caso di niobato di litio drogato con ferro, gli ioni Fe²⁺ sono donori di elettroni, mentre gli ioni Fe³⁺ fungono da 'trappole' per gli elettroni. In un monocristallo gli elettroni fotoeccitati si muovono con maggior probabilità nella direzione +ĉ, cioè lungo la polarizzazione macroscopica. Ogni Fe²⁺, ad esempio, può essere considerato come una buca di potenziale asimmetrica contenente un elettrone (fig. 1.7), che, una volta fotoeccitato, si muove in una direzione privilegiata (+ĉ). Poiché l'asimmetria in un monocristallo è uguale per ogni sito donore, la somma di questi effetti microscopici dà luogo ad una corrente macroscopica [34].

Figura 1.7: Modello a buca di potenziale asimmetrica; i portatori di carica fotoeccitati (dagli stati legati E₀ e E₁) si muovono con maggior probabilità nella direzione dell'asse ottico.

Nel caso di illuminazione uniforme si osserva perciò una densità di corrente lungo l'asse z:

$$j_{z}= k \alpha I$$ (1.13)

dove I è l'intensità di luce incidente, a è il coefficiente di assorbimento e k, nota come costante di Glass, dipende dalla lunghezza d'onda incidente e dalla natura del cristallo e dei siti trapping[19].

Figura 1.8: Campo elettrico e distribuzione delle cariche per un campione illuminato da uno spot di intensità uniforme.

Dopo aver percorso una distanza media L, stastisticamente i fotoelettroni vanno incontro a retrapping ed a successive eccitazioni fino a quando si trovano in una zona illuminata. Risulta una netta migrazione degli elettroni che vengono retrapped sulla faccia +z, nel caso in cui il campione è interamente illuminato, o nella immediata zona non illuminata lungo z (fig. 1.8). La distribuzione non più uniforme di Fe2⁺ e Fe³⁺ dà luogo ad una densità di carica spaziale generante un campo elettrico, lungo z, che si oppone alla fotocorrente:

$$j_{z}(t)=k \alpha I - \sigma E_{z}(t)$$ (1.14)

con

$$\sigma=\sigma_{d}+\sigma_{ph}$$ (1.15)

s somma della conduttività dovuta all'agitazione termica, detta dark(in genere trascurabile rispetto a s_ph), e della fotoconduttività:

$$\sigma_{ph}= \alpha I \beta_{ph}$$ (1.16)

dove b_ph dipende dalla lunghezza d'onda della luce incidente, dalla vita media e dalla mobilità degli elettroni, e dalla concentrazione dei droganti. Combinando l'equazione di continuità della carica e la prima equazione di Maxwell si ha:

$$E_{z}(t)=\frac{1}{\epsilon} \int \rho \mathrm{d}z =\frac{1}{\epsilon} \int_{0}^{t} j_{z}(\tau) \mathrm{d}\tau$$ (1.17)

ovvero:

$$\frac{dE_{z}}{dt}= \frac{j_{z}}{\epsilon}$$

La (1.14) diventa dunque un'equazione differenziale:

$$\frac{dE_{z}}{dt}+ \frac{\sigma}{\epsilon}E= \frac{k \alpha I}{\epsilon}$$ (1.18)

con condizioni iniziali E(t=0)=0. La soluzione è del tipo:

$$E_{z}(t)=E_{sat}(1-e^{-\frac{t}{T_0}})$$ (1.19)

con

$$E_{sat}=\frac{k \alpha I}{\sigma}$$ (1.20)

campo elettrico stazionario, cioè per j=0 in condizioni di corto circuito, e con

$$T_0=\frac{\epsilon}{\sigma}$$ (1.21)

costante di tempo di rilassamento dielettrico, nota anche come costante temporale di risposta fotorefrattiva. La (1.20) per $\sigma \simeq \sigma_{ph}$ è indipendente dall'intensità I:

$$E_{sat} \simeq \frac{k}{\beta_{ph}}$$ (1.22)

Il campo elettrico induce una variazione (diminuzione) dell'indice di rifrazione ordinario e straordinario per effetto elettro-ottico:

$$\Delta n_{o}(t)=\frac{1}{2}n_{o}^{3}r_{13}E_{z}(t)$$ (1.23)

$$\Delta n_{e}(t)=\frac{1}{2}n_{e}^{3}r_{33}E_{z}(t)$$ (1.24)

L'effetto di indurre variazioni di indice di rifrazione attraverso l'illuminazione di un materiale piroelettrico è definito effetto fotorefrattivo. È noto anche come danneggiamento fotorefrattivo, in quanto fu per la prima volta osservato [5] come diminuzione di indice di rifrazione (dell'ordine di 10^-4) in zone esposte a laser blu o verdi. La conseguente dispersione della luce rende inutilizzabili i dispositivi elettro-ottici e acustico-ottici. Oggi è invece molto studiato per applicazioni di immagazzinamento dati, olografia dinamica, realizzazioni di dispositivi ottici, come filtri e specchi. Terminata l'esposizione alla luce del cristallo, il campo E decresce esponenzialmente con costante di tempo:

$$T_{1}= \frac{\epsilon}{\sigma_{d}}$$ (1.25)

Di conseguenza la variazione dell'indice di rifrazione, ottenuta per effetto elettro-ottico, svanisce tanto più rapidamente, quanto maggiore è la conduttività dark. Per effetti permanenti si usano tecniche di fissazione termica, che saranno descritte nel paragrafo 2.9. La sensibilità fotorefrattiva è definita come la variazione di indice di rifrazione per unità di energia assorbita:

$$S=\frac{\Delta n}{J T_{0}}$$ (1.26)

con J densità (W/m^-2) di energia che investe il mezzo [19]. Per un'illuminazione non uniforme I(x,y,z), caso più interessante dal punto di vista applicativo, vi è una corrente nella direzione dell'asse ottico [34] pari a:

$$j_{z}(x,y,z)= -\sigma E_{z}(x,y,z,t) + k \alpha I(x,y,z)+ e D \frac{dn(x,y,z)}{dz} + p \frac{dT}{dt} + \Delta \mu \frac{dn(x,y,z)}{dt}$$ (1.27)

Il primo termine è dato dalla conduzione del campo elettrico interno al cristallo che si oppone alla fotocorrente, il secondo è dovuto all'effetto fotovoltaico, il terzo è il termine di diffusione delle cariche che si muovono dalla zona a più alta concentrazione verso quella a più bassa. Questo termine risulta importante per alte frequenze spaziali di illuminazione^1.3, ma per niobato di litio, ad esempio drogato con ferro, l'effetto fotovoltaico è dominante per tutte le frequenze spaziali di interesse pratico. Gli ultimi due termini sono transienti dovuti all'effetto piroelettrico (p coefficiente piroelettrico, Dm variazione del momento di dipolo delle impurità) risultante da un locale riscaldamento delle parti illuminate, ma sono trascurabili per illuminazioni stazionarie nel tempo. Se si illumina un materiale fotorefrattivo con un pattern di frange di interferenza, localmente l'equazione (1.27) si riduce alla (1.14), e l'andamento nel tempo del campo elettrico nelle zone uniformemente illuminate è del tipo (1.19), con costante di tempoT₀. La conseguente variazione dell'indice di rifrazione dovuta all'effetto elettro-ottico è dipendente dalla posizione e segue l'andamento dell'illuminazione I(x,y,z).

Guide di luce in niobato di litio drogato con ferro per applicazioni olografiche
Barbara Imperio
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