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Risolutore universale di equazioni
Sfruttando la similitudine tra triangoli fu realizzato ( circa nel 1750 ) un geniale dispositivo meccanico che era in grado di tracciare il grafico di un polinomio di 3° grado, e quindi, in grado di determinare, anche se in modo approssimato, le soluzioni ( reali) di una equazione di terzo grado. Il metodo si può facilmente estendere al caso di un polinomio dio grado n. Nel seguito vengono riprodotte le costruzioni relative alle equazione di secondo e terzo grado.
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Prendendo in considerazione la figura e avendo posto C(0,c), B(0,b+c) e A(0,a+b+c): si nota che: - il segmento AA' interseca la retta r in L
- il segmento A'B interseca la retta r in M
- il segmento UB' l'asse delle ascisse in M
- il segmanto CB' interseca la retta r in Y |
si dimostra che il punto Y ha coordinate (x, ax^2+bx+c);
- si nota che LA'=MB'=1-x; AA'=UB' =OP=1;
- fruttando la similitudine tre i triangoli MLA' e BAA' si ha ML=(1-x)AB =(1-x)a
- fruttando la similitudine tre i triangoli YMB' e CUB' si ha MY=(1-x)CU=(1-x)(CA-AU) =(1-x)(a+b-LM)=(1-x)[a+b-(1-x)a]= (1-x)(ax+b)
quindi: XY=XL-LM-MY=a+b+c -(1-x)(ax+b)=a+b+c-ax-b+ax^2+bx=ax^2+bx+c
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la costruzione realizzata con Cabrì permette determinare in modo approssimato il valore delle soluzioni reali di una equazione di secondo grado, col mouse si fissano i valori dei coefficienti a, b e c variando la posizione dei punti A , B e C.
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Equazioni di terzo grado
La precedente costruzione può essere adattata al caso di una cubica
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ponendo: A(0,a+b+c+d), B(0,b+c+d), C(0,c+d) e D(0,d) osservando la figura si nota che XP=XL-LM-MY-YP dove: - LM= (1-x)a - MY=(1-x)(ax+b) dalla similitudine dei triangoli YPN e QND YP=QD.NY=(1-x)QD=(1-x)(AD-AQ) |
in definitiva:
XP=a+b+c+d-(1-x)a-(1-x)(ax+b)-(1-x)[a+b+c-(1-x)a-(1-x)(ax+b)]=
=a+b+c+d-(1-x)(a+ax+b)-(1-x)[a+b+c-a+ax-ax-b+ax^2+bx)]=
=a+b+c+d-(1-x)(a+ax+b)-(1-x)[c+ax^2+bx]=
=a+b+c+d-(1-x)(a+ax+b+c+ax^2+bx)=
=a+b+c+d-a-ax-b-c-ax^2-bx+ax+ax^2+bx+cx+ax^3+bx^2=
=ax^3+bx^2+cx+d
Al variare di X il punto P, di coordinate (x,ax^3+bx^2+cx+d), descrive una cubica
