Frattali in Natura ed in Fisiologia umana
Le spirali sono
alla base del mondo vivente. Il nucleo cellulare è costituito da una lunga
catena a spirale, il DNA, riportante l’intero codice genetico. Anche la forma
di certi organismi può essere a spirale come quella dell’ammonite, vissuto
300.000.000 di anni fa.
Archimede ne scrisse un trattato, "Sulle Spirali". anche nella natura
inanimata scopriamo spirali come ad esempio la galassia a spirale.
Le spirali sono
anche alla base dei frattali. Ci sono tre tipi comuni di spirali piane, la più
importante delle quali per quanto riguarda i frattali è la spirale logaritmica.
La spirale evoluta è quella che si ottiene srotolando un gomitolo e tenendo il
filo sempre teso; la fine del filo traccerà una spirale.
Il modo migliore per rappresentarla è con le coordinate polari r e f
che
costituiscono una valida alternativa alle coordinate cartesiane. r corrisponde
alla distanza del punto P dall’ origine, modulo, e f
all’ angolo tra OP e
l’asse delle x. Da notare che r è sempre maggiore o uguale a 0 e l’angolo
cresce in senso antiorario da 0 e una rotazione completa aumenta l’angolo di 2p
radianti.
La spirale di
Archimede è la più semplice ed è espressa in coordinate polari con la formula
r=af. tutte le spirali di Archimede sono simili, differiscono solo per scala.
La spirale
logaritmica sostituisce la r della spirale di Archimede con il log r, log r=af.
Se a è maggiore di 0 la spirale cresce all’ infinito, se è minore di 0
procede verso il centro, se a=0 si ha una circonferenza. Il fattore di crescita
dipende da f. Si può interpretare come gli spostamenti di una barca attorno ad
un faro. Dopo un tratto in linea retta con angolo iniziale b rispetto alla
linea che la congiunge con il faro, la nave avrà un angolo di b+a
e dovrà
aggiustare la rotta. Considerando spostamenti infinitesimi, riducendo a
, si
arriva ad una spirale indistinguibile da una spirale matematica.
Nel 1957 A. E.
Bosman con La geometria nel pianeta: un campo miracoloso di ricerca voleva
mostrare le miracolose figure geometriche della natura, prima fra tutte la
spirale. Una delle sue figure più importanti è l’albero di Pitagora la cui
costruzione è basata sul sistema binario.
Un quadrato ha
un lato in comune con un triangolo rettangolo isoscele, che a sua volta ha gli
altri due lati in comune con altri due quadrati e così via. La somma delle aree
dei due quadrati più piccoli, per il teorema di Pitagora, è uguale all’area
del quadrato iniziale e così anche le aree dei quadrati che si formano nei
passaggi successivi, sommate, daranno l’area del primo quadrato. Si può avere
un albero asimmetrico semplicemente costruendo un triangolo rettangolo qualsiasi
sul lato del primo quadrato.
La forma
avvolta non è altro che una spirale logaritmica.
Si possono
creare infinite spirali partendo dai quadrati. L’albero di Pitagora è un buon
esempio di frattale matematico. Vi sono anche frattali a forma di stella,
costruiti per esempio con una linea chiusa e successivi segmenti che si
incrociano tutti con lo stesso angolo.
Si può
comparare la curva di von Koch con una costa della Bretagna, ma la natura è
creata con casualità. Se si considera la somiglianza statisticamente si creano
frattali più realistici. Per far ciò occorre che ogni parte del frattale abbia
le stesse proprietà statistiche. I metodi basati sul caso sono detti metodi di
Monte Carlo, e in modo più formale stocastici dal verbo greco che sta per
indovinare.
Si può vedere
come i frattali siano influenzati da una certa casualità controllata. Ci sono
diversi modi di introdurre il caso nella costruzione dei frattali e oggi ci sono
programmi per computer che possono creare lunghe serie arbitrarie di
numeri casuali. Per esempio si sceglie un numero di 4 cifre e si eleva al
quadrato, poi si tolgono la prima e l’ultima cifra finché non rimangono
ancora 4 numeri, si procede ancora con il quadrato e con il taglio delle cifre e
così via: il risultato è una serie di numeri casuali tra 0 e 9999 che non
fallisce test statistici di casualità e nello stesso tempo e stata creata con
una regola precisa.
Tutto deriva dal primo numero, quindi è una sequenza deterministica, ma da’
l’impressione che sia caotica.
Un buon metodo
molto pratico per i frattali basato sulla casualità è pensare al fatto che i
frattali sono formati da un numero infinito di punti e che si può rappresentare
solo una frazione di essi, un illusione della loro completezza. Analizzando ad
esempio l’albero di Pitagora scopriamo che sono stati rappresentati solo i
primi 12 passaggi. Introducendo una certa casualità nella costruzione si
potrebbe stabilire di lasciare al caso la decisione di creare una spirale verso
sinistra o verso destra a seconda della disposizione dei lati dei triangoli
rettangoli. questa introduzione di piccoli disturbi nella costruzione di
frattali rende quest’ultimi più simili a oggetti naturali come alberi,
piante, coralli e spugne.
Si è
sviluppata quindi una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti
frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. I risultati a
volte sono stati stupefacenti. Uno dei frattali biomorfi infatti più riusciti
è la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la
stessa figura.
Attraverso una
semplice operazione, la biforcazione di un segmento, si possono ottenere delle
"fronde" molto realistiche.
E' interessante
notare, parlando in termini informatici, che se si potesse riuscire ad aumentare
il livello di realismo, la quantità di informazioni (quindi la dimensione di un
file) da fornire al computer per visualizzare una felce su schermo, sarebbe
infinitamente minore. Questo uso della geometria frattale è studiato da diversi
anni e viene chiamato IFS (Iterated Function System).
Robert Brown
nel 1828 scoprì che le particelle al microscopio si muovevano in modo
imprevedibile e casuale. Questo è stato chiamato moto browniano. L’idea della
curva di un frattale può aiutare a farsi un’impressione della traiettoria di
un moto browniano. Si deduce che le proprietà statistiche non variano a seconda
della scala. I frattali browniani sono molto naturali. Un paesaggio lunare
potrebbe apparire come la superficie di un frattale: il crateri più grandi
rappresentano la scala maggiore, ma anche con qualsiasi scala minore si possono
vedere crateri; la locazione dei quali è del tutto casuale.
di
Vittorio Gariboldi e Federico
Miorelli
I
FRATTALI NEL MONDO VEGETALE E NEL PAESAGGIO
Se vediamo la
terra dallo spazio, possiamo osservare i continenti con le loro coste, gli
oceani e i mari, i fiumi maggiori.
Se ci
avviciniamo, possiamo vedere solo una parte, ingrandita, dell'immagine
precedente, ma la struttura del paesaggio non cambia: ancora coste, e
"piccoli mari" e corsi d'acqua.
Le coste, in particolare, hanno infinita lunghezza anche se sono chiuse in una
superficie finita, e i dettagli, per quanto ingranditi, non cambiano. Ecco, di
nuovo, i frattali!
Nel regno
vegetale si trovano esempi comuni di ramificazioni frattali: dalle felci, agli
alberi, ai fiori.
Le loro forme, così diverse, così complesse, nascono allora da semplici codici
genetici, come quelli che possono essere scritti al computer con poche righe di
programma.
FRATTALI
IN FISIOLOGIA UMANA
Nell'immagine
(qui sotto) possiamo ammirare un disegno di Leonardo da Vinci raffigurante alcuni
organi interni del corpo umano.
Oggi, possiamo individuare in questa rappresentazione strutture riconducibili ai
frattali: tra queste, i vasi sanguigni, le fibre nervose e le strutture
canalizzate.
Da studi effettuati su calchi di polmone umano e di altre specie di mammiferi è
risultato che dette misurazioni mostrano i rapporti tipici di oggetti frattali.
Anche se i vari organi assolvono a funzioni differenti, la loro struttura
frattale consente di comprimere nel minimo spazio grandi capacità di
estensione: se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è
direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi, in un
individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si
comprende quanto efficace sia stata la scelta "frattale" fatta dalla
natura per lo sviluppo dei nostri organi.
L'immagine qui
sotto mostra come lo sviluppo del feto sembri seguire una dinamica frattale,
ipotesi ormai accreditata presso molti studiosi.
All'attualità, infine, la matematica dei frattali è applicata allo studio dei
tumori (immagine qui sotto).
Si è scoperto, infatti, che nell'organismo colpito da tale patologia tendono a
formarsi vasi sanguigni che nutrono, specificamente, le cellule tumorali.
Riuscire a fermare tale fenomeno può voler dire sconfiggere la malattia.
Ebbene, recenti studi stanno dimostrando che lo sviluppo di tali vasi sanguigni
può essere misurato con l'applicazione della matematica frattale.
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