IL GAS PERFETTO

Cosa è un gas perfetto è detto a pagina 72 del vostro libro. In questa pagina descriverò le proprietà fisico-matematiche della pressione di un tale gas.

 

Equazione di stato di un gas perfetto

Per equazione di stato di una sostanza si intende un'equazione termodinamica (cioè che considera l'effetto dela temperatura) che lega insieme la pressione (P), il volume (V), la temperatura (T) e la massa (M) - o eventualmente un'altra grandezza fisica legata alla massa come il numero di moli (n), il numero di particelle (Np) o la densità (r) -.

Ogni sostanza ha la sua equazione di stato. Per i gas perfetti abbiamo dimostrato che essa si scrive come:

PV = nRT      (1)

con n il numero di moli del gas, R=8,3143 J/mol°K (costante dei gas) e T la temperatura espressa in gradi Kelvin (vedi pagine 75 e 76 del libro per la dimostrazione di tale legge).

Non hai tanta confidenza con il concetto di mole? Fai un paio di semplici esercizi con il professore!

 

La pressione in funzione della concentrazione molare

Dall'equazione (1) si ricava immediatamente la legge della pressione di un gas perfetto:

P = (n/V)RT      

Ma n/V è il numero di moli del gas diviso il suo volume, cioè n/V è la densità (o concentrazione) molare, d_mol. Perciò posso scrivere:

P = d_molRT      (2)

Dalla equazione (2) si capisce subito che:

• la pressione di un gas perfetto è direttamente proporzionale alla temperatura espressa in Kelvin.

• la pressione di un gas perfetto è direttamente proporzionale a n/V, cioè al rapporto fra il numero di moli ed il volume del gas, ovvero alla densità molare del gas, d_mol.

Da notare che la pressione di un gas perfetto non dipende in alcun modo né dalla specie chimica né dalla massa degli atomi che lo compongono ma solo dalla densità molare!!!

 

La pressione in funzione della concentrazione del numero di particelle

L'equazione (2) lega la pressione di un gas perfetto alla concentrazione molare. Adesso vediamo di scrivere tale equazione in modo da evidenziare come dipende la pressione dal numero di particelle di un gas, Np.

Il numero di particelle Np contenuto in n moli di gas è dato dal prodotto del numero di moli n per la quantità di particelle contenuta in una mole. Tale quantità, come ben sapete, ha il nome di Numero di Avogadro (N_A) e corrisponde a circa
6,02 10²³ particelle. Perciò posso scrivere:

Np = nN_A ; e di conseguenza, n=Np/N_A.

Sostituendo n nella (2) si ottiene:

P=(Np/V)(R/N_A)T      (3)

R/N_A è un rapporto fra costanti universali e perciò è anch'essa una costante universale. Essa ha il nome di costante di Boltzmann e si indica con K. Facendo i conti risulta:
K = 1,38 10^-23. E' un numero piccolissimo!!!

Np/V è il rapporto fra il numero di particelle totali di un gas ed il volume che le contiene. Dunque essa rappresenta la densità numerica di particelle per m³ -cioè il numero di particelle contenute in un m³- che si indica con d_p. Posso perciò scrivere Np/V=d_p e dunque:

P=d_pKT        (4)

Il valore di d_p in condizioni abituali è grandissimo: basti pensare che un m³ d'aria al livello del suolo contiene circa 2,5 10²⁵ molecole!! Una densità di molecole di 10¹⁶ particelle al m³ è considerato "vuoto spinto" ed è raggiungibile solo con strumenti di eccezionale potenza.

N.B.: Dal punto di vista teorico, l'equazione (4) è una delle più importanti per quanto riguarda i gas. Essa ci fa capire che la pressione di un gas perfetto non dipende in alcun modo dalla massa delle sue molecole ma solo dal loro numero!!!

 

La pressione in funzione della densità

Adesso ci resta da trovare l'ultima relazione: quella che lega la pressione con la densità. Prima di tutto introduciamo la massa molare m. Essa rappresenta la massa di una mole di sostanza. Ad esempio, l' Idrogeno ha m=2g il che vuol dire che una mole di Idrogeno ha una massa di 2g; l'Azoto ha m=28g, l'Ossigeno ha m=32g, ecc. L'aria,essendo un miscuglio di circa 20% Ossigeno e 80% Azoto ha una massa molare m=28,8 g circa (ma come si fa a calcolare la massa molare dell'aria?! Chiedi al Professore se non lo sai!)

La massa M di un gas è data dal prodotto della sua massa molare m per il numero di moli n. In altre parole:

M =nm e dunque: n =M/m

Sostituendo n nell'equazione (2) ottengo:

P = (M/V)(R/m)T       (5)

Ma M/V altro non è che la densità r della sostanza! Alla fine ottengo:

P = r(R/m)T        (6)

 

Conclusioni

Abbiamo ottenuto tre diverse equazioni per la pressione di un gas perfetto. Esse sono:

	P=dmolRT	[la pressione in funzione della concentrazione molare]
	P=dpKT	[la pressione in funzione della concentrazione numerica di particelle]
	P = r(R/m)T	[la pressione in funzione della densità]

 

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