| Le isometrie
dirette, che non
cambiano l'orientamento, sono le rototraslazioni, quindi di
equazione: P' = R·P + T con |R|=1. |
Le isometrie
inverse, che
cambiano l'orientamento, hanno equazione: P' = S·P* + T con |S|=1 |
| sono composizione di una simmetria di asse reale e di una isometria diretta P' = S·P + T. |
Componendo due isometrie si ottiene ancora una isometria:
| componendo due isometrie dirette si ottiene ancora una isometria diretta | se P' = R1P+T1 e P'' = R2P+T2
allora P'' = R2 (R1P+T1) + T2
= R2R1P + ( R2T1 + T2
)
con | R2R1| = | R2| |R1| = 1 |
| componendo due isometrie inverse si ottiene isometria diretta: | se P' = R1P*+T1 e P'' = R2P*+T2
allora P'' = R2 (R1P*+T1)* + T2
= R2R1*P + ( R2T1* + T2
)
con | R2R1*| = | R2| |R1*| = 1 |
| componendo due isometrie una diretta e l'altra inversa si ottiene un'isometria inversa | ad esempio: se P' = R1P*+T1
e P'' = R2P+T2 allora P'' = R2
(R1P*+T1) + T2 = R2R1P*
+ ( R2T1 + T2 ) con | R2R1| = | R2| |R1| = 1 |
Ogni isometria diretta può essere ottenuta mediante composizione di due simmetrie assiali, ogni isometria inversa invece o è una simmetria assiale o può essere ottenuta mediante composizione di tre simmetrie assiali.
| Equazioni nel piano cartesiano con |
se P = x+iy , R=a+ib, con a²+b²=1, e T=c+id allora
se P = x+iy , R=a+ib, con a²+b²=1, e T=c+id allora
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