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  1. I punti A' B' e C' sono corrispondenti di A, B, C nella simmetria di centro O. Dimostrare che le circonferenze circoscritte ad ABC A'BC AB'C e ABC' passano per uno stesso punto.
  2. ABCD è inscritto in un cerchio k di centro O. Le perpendicolari per A ad AB e AD intersecano i lati CD e BC nei punti M ed N, rispettivamente. Prova che la linea MN passa per O.
  3. Siano AB e CD due corde di un cerchio k. Sia M l'intersezione delle perpendicolari da A ad AB e da C a CD; sia N l'intersezione delle perpendicolari da B ad AB e da D a CD. Prova che la retta MN passa per l'intersezione delle rette BC e AD se s'intersecano, altrimenti è parallela a queste.
  4. (Simpson) Prova che i piedi delle perpendicolari condotte da un punto del circocentro di un triangolo ABC ai lati del triangolo sono allineati.
  5. (Simpson) Più in generale, sia S l'area di un triangolo ABC, R il raggio del circocentro, e d il raggio di un cerchio p concentrico a k. Siano A1, B1 e C1 i piedi delle perpendicolari punto qualunque di p ai lati del triangolo ABC. Dimostra che l'area S1 del triangolo A1B1C1 è dato dalla formula S1 = 1/4· S |1 - d2/R2|. In particolare, se p= k, allora S1 = 0, e quindi A1, B1 e C1 sono allineati.
  6. (Newton) Se il quadrilatero PQRS è circoscritto al cerchio con centro O i punti medi delle diagonali di PQRS e il punto O sono allineati.
  7. (Gauss) Se due coppie di lati opposti di un quadrilatero si intersecano, il punto medio tra le due intersezioni è allineato con i punti medi delle diagonali.
  8. Sia H l'ortocentro del triangolo A1A2A3. La circonferenza di diametro A3H interseca i lati A2A3 and A1A3 nei punti P e Q rispettivamente. Mostra che le tangenti in P e Q a k si intersecano nel punto medio di A1A2.
  9. Sia k di centro O la circonferenza circoscritta al triangolo A1A2A3. Sia M l'itersezione tra le rette A3O e A1A2; Sia A3P3 l'altezza, ed E il centro di Eulero dei 9 punti per il triangolo A1A2A3. Allora N, E e P3 sono allineati.
  10. Nel triangolo acutangolo ABC l'ortocentro H divide le altezze BD in modo che BH : HD = 3 : 1. Mostra che AKC è retto se K è punto medio di BD.
  11. Gli angoli di un triangolo ABC formano una serie geometrica di ragione 2. Mostra che i punti medi dei lati e i piedi delle altezze sono vertici di un ettagono regolare.
  12. Dato un triangolo ABC ci sono due punti U e V tali che i triangoli AUV, V BU e UV C sono simili ad ABC ed egualmente orientati.
  13. B, C e P stanno su una circonferenza k di cento O. Le tangenti a k in B e C si intersecano in A; la perpendicolare ad AP in P interseca OB e OC in D e E. DM e EN sono le perpendicolari da D e E ad OA. Mostra che (a) i triangoli OAD ed OEA sono simili; (b) M e N si corrispondono.
  14. Dato il triangolo A1A2A3 non isoscele, sia Mi il punto medio opposto a Ai, Ti il punto di tangenza di questo lato ala circonferenza inscritta k, Si il simmetrico di Ti rispetto alla bisettrice dell'angolo al vertice Ai (i = 1, 2, 3). Mostra che le rette M1S1, M2S2 e M3S3 si intersecano in un punto di k.
  15. Dato il triangolo ABC mostra che la bisettrice dell'angolo in A, the midsegment parallel to AC, e la retta che unisce i punto di tangenza con il cerchio inscritto dei lati BC e CA, sono concorrenti.
  16. In rectangle ABCD, the angle bisector of \ B intersects diagonal AC and side AD in E and F, respectively. A line through E parallel to AB intersects diagonal BD in K. Prove that line FK is perpendicular to AC.
  17. Given a non-rectangular parallelogram ABCD, a circle k with diameter AC intersects lines AB and AD in points M and N (other than A.) Prove that lines BD, MN and the tangent at C to k are concurrent (or all parallel).
  18. Let P and C lie on a semicircle s with diameter AB, so that arcs BC and CD are equal. If AC \ BP = E and AD \ CP = F, then prove EF ? AD.
  19. ABCD is circumscribed around circle k. Let l1 and l2 be two arbitrary tan-gents to k, different from the sides of ABCD. The distances from A, B, C, D to li are ai, bi, ci, di (i = 1, 2.) Prove that a1b2c1d2 = a2b1c2d1.
  20. Let tA and tB be the tangent to circle k at two diametrically opposite points A and B on k. Through point C on tA (C 6 = A) draw two chords D1E1 and D2E2 in k. Prove that the rays AD! 1 and AD! 2 cut a segment from tB of length equal to that of the segment cut on tB by the rays AE! 1 and AE! 2 .
  21. On a semicircle s with diameter AB take arbitrary points C and D. Points P, Q and R are the midpoints of AC, CD and BD. Through points P and R draw lines perpendicular to AQ and BQ, respectively, and let them intersect the tangents to s at A and B at points S and T, respectively. Prove that ST and CD are parallel.
  22. Let O and H be the circumcenter and orthocenter of 4 A1A2A3. Lines A1H, A2H and A3H intersect the circumcircle k of 4 A1A2A3 in points Q1, Q2 and Q3, respectively. Prove that the lines through Q1, Q2 and Q3, parallel correspondingly to OA1, OA2 and OA3, are concurrent.
  23. Prove that on the circumcircle k of 4 ABC there exist exactly three points X ( 6 = A) with the following property: X is the midpoints of the segment cut by the arms of \ BAC on the tangent through X to k. Prove also that the orthocenter of the triangle with vertices these three points is the midpoint of side BC.
  24. (Moscow’97 X) Each side of a polygon is extended to twice its length at one of its ends while going around the polygon in counterclockwise direction. If the newly obtained ends of segments form a regular polygon, prove that the original polygon is also regular .
  25. (Sorovska’97 IX) Point C lies inside 4 ABD so that 4 ABC is right and isosceles with hypothenuse AB = 2, and CD = 1. On the ray through C and perpendicular to and intersecting AD draw segment CK = AD. Similarly, on the ray through C and perpendicular to and intersecting BD draw segment CM = BD. Prove that points K, D and M are collinear.
  26. (MOSP’99 test) Let H, O and R be the orthocenter, circumcenter and circum-radius of 4 ABC. Let A1, B1 and C1 be the re ections of A, B and C across lines BC, CA and AB. Prove that A1, B1 and C1 are collinear iff OH = 2R.
  27. (IMO’99) Circles k1 and k2 lie inside circle k and are tangent to k at respective points M and N. k1 passes through the center of k2. The common chord of k1 and k2 hits k at A and B; lines MA and MB intersect k1 again at C and D. Prove that CD is tangent to k2.
  28. If A and B are on the unit circle, then a point M lies on line AB iff A + B = M + M*AB.
  29. If T lies on the unit circle k, then the tangent to k at T is described by the equation: 2T=P+P*T2 (meglio PT*+P*T=2 ).
  30. Siano A,B, C e D sulla circonferenza di centro 0 passante per 1. Il punto intersezione delle rette AB e CD è dato da :.

    31. Let A, B and T lie on the unit circle k. The intersection point Z of line AB and the tangent to k at T is given by

  31. Siano A e B sulla circonferenza di centro 0 passante per 1 ma non diametralmente opposti, allora il punto M media aritmetica di A e B ha per corrispondente nella inversione rispetto alla circonferenza il punto Ma media armonica di A e B e le tangenti da questo punto alla circonferenza la toccano in A e B.
  32. Siano A e B sulla circonferenza di centro 0 passante per 1, C un punto qualunque. Il piede della perpendicolare da C alla retta AB è dato da (A+B+C- ABC*)/2.
  33. Se T1, T2, S1 ed S2 stanno sulla circonferenza di centro 0 passante per 1, le corde T1S1 and T2S2 sono parallele se e solo se T1S1 = T2S2.
  34. Se il triangolo ABC è inscritto nella circonferenza di centro 0 passante per 1, il suo ortocentro è H=A+B+C e il centro della circonferenza di Eulero dei 9 punti è E = (A + B + C)/2.
  35. Sia AB una corda della circonferenza di centro 0 passante per 1. L'asse di AB ha equazione P = ABP*.
  36. Il circocentro del triangolo 0AB è .
  37. Sia AB una corda della circonferenza di centro 0 passante per 1. La simmetria di asse AB ha equazione: P' = A + B - ABP*.
pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione