Questa immagine è utile per dimostrare il Teorema di Tolomeo per i quadrilateri circoscrivibili.
Infatti, posto D= P, si ha: |D_i–A_i| + |C_i–D_i|=|C_i–A_i|
e quindi, preso lo zero in B e la circonferenza d'inversione di raggio unitario:
|1/D* – 1/A*| + |1/C* – 1/D*| = |1/C* – 1/A*|
che con qualche passaggio diventa:
|A – D| · |C| + |D – C| · |A| = |A – C| · |D|

Teorema (dovuto a Carnot): se da un punto P di una circonferenza si mandano semirette che formano angoli uguali con i lati di un triangolo inscritto, allora le intersezioni delle semirette con i lati sono allineati.
Per dimostrarlo ricorriamo al teorema di Menelao. Detti A₁A₂A₃ i vertici del triangoli,
K₁ il punto su A₂A₃, K₂ il punto su A₃A₁, K₃ il punto su A₁A₂,
è sufficiente verificare che (K₁A₂A₃)(K₂A₃A₁)(K₃A₁A₂)=1
D'altra parte (K₁A₂A₃) = (K₁PA₃) / (K₁PA₂);
I triangoli K₁PA₃ e K₃PA₁ sono simili,
come pure i triangoli K₁PA₂ e K₂PA₁, quindi
(K₁A₂A₃) = (K₃PA₁) / (K₂PA₁);
Analogamente si verifica pure che:
(K₂A₃A₁) = (K₁PA₂) / (K₃PA₂);
(K₃A₁A₂) = (K₂PA₃) / (K₁PA₃);
e questo conduce alla tesi.
Quando le semirette sono perpendicolari ai lati, si ottiene il teorema di Simson

Esercizi

1. Il centro della circonferenza per A, B e C è media pesata dei tre punti con pesi rispettivamente Re(1/((B–A)(C–A)*)), Re(1/((A–B)(C–B)*)) e Re(1/((A–C)(B–C)*))
2. Il quadrilatero ABCD è inscrivibile in una circonferenza se e solo se (ABCD) è un numero reale
3. Il punto P sulla circonferenza per 0, A e B e allineato con (A+B)/2 vale:
   

       AA* + BB*
   P = ––––––––– 
         A*+B*
   

4. (ABCD)=–1 quando D sta sulla circonferenza per A, B e C e A–B è media armonica di C–B e D–B ( sfrutta l'uguaglianza (ABCD)=( 1/(A–B) 1/(C–B) 1/(D–B) ).
5. Se (ABCD)=–1 allora, detto M il punto medio di CD, (D–M)²=(A–M)·(B–M).
6. Dal fatto che nell'inversione rispetto alla circonferenza per A, B e C il centro O corrisponde al punto ¥, quindi (ABCO)=(ABC¥)*, verifica che O è la media pesata di A e B con pesi rispettivamente (CAB) e -(CAB)*.
7. Determina il centro della circonferenza per 0, 1 e A e l'intersezione con l'asse immaginario
8. Poiché (CAP')=1/(CAP) è l'equazione dell'inversione rispetto alla circonferenza di centro C e passante per A, allora (CAP)=1/(CAP)* è l'equazione della circonferenza di centro C e per A.
9. Dimostra che se il triangolo ABC è equilatero, P sta sulla circonferenza circoscritta ad ABC, allora PA = PC + PB (applica il teorema di Tolomeo).
10. Poichè l'angolo APB è retto sse (PAB) sta sull'asse Im, allora (PAB)+(PAB)*=0 è l'equazione della circonferenza di diametro AB.
11. a P P* + b P + c P* + d = 0 è l'equazione di una circonferenza se a¹0 , altrimenti di una retta
12. | P·(a+b)/2 – P*·(a–b)/2 | =1 è l'equazione di un'ellisse con assi coincidenti con gli assi Re ed Im,e su questi semiassi di lunghezze a e b.
13. | P·(a–ib)/2 + P*·(a+ib)/2 | =1 è l'equazione di un'iperbole con assi coincidenti con gli assi Re ed Im,e su questi semiassi di lunghezze a e b.
14. P²-(P²)*- AA* =0 iperbole equilatera con assi coincidenti con assi Re ed Im.
15. In generale per le coniche si può considerare la definizione come luogo dei punti che hanno costante (=e) il rapporto della distanza da un fuoco F e da una direttrice AB, ovvero 2(P–F)/((B–A)·((ABP)–(ABP)*)) sta sulla circonferenza di centro 0 e raggio e
16. In particolare le coniche si possono studiare come trasformate di circonferenze mediante omologie
17. Considera la circonferenza ABC e verifica che:
    1. i punti P dell'arco AB contenente C soddisfano (ABCP)>0, gli altri (ABCP)<0;
    2. i punti P interni sono tali che Im( (ABCP) ) > 0, quelli esterni Im( (ABCP) ) < 0;
    3. i punti P sulla circonferenza per A e B ortogonale alla data verificano (ABCP)=–(ABCP)*;
    4. i punti P interni a quest'ultima circonferenza sono tali che Re( (ABCP) ) < 0, quelli esterni Re( (ABCP) ) > 0;