Il teorema di Cantor

Nel secolo scorso la preoccupazione maggiore dei matematici era risolvere una famiglia di paradossi, risalenti al Medioevo, che riguardavano l’equinumerosità degli insiemi..

Cantor sfidò la concezione aristotelica affrontando brillantemente i paradossi e formulando una teoria coerente, sistematica e precisa dell’infinito attuale. Egli accettò il principio della corrispondenza biunivoca e il suo inverso, cioè che non esistono due insiemi equinumerosi, i cui membri non possano essere posti in corrispondenza biunivoca. Di conseguenza, ammise che esistono tanti interi positivi pari quanti sono gli interi positivi.

Vi sono infiniti di dimensioni diverse. Questa affermazione è conseguenza del teorema di Cantor:

nessun insieme, e in particolare nessun insieme infinito, ha tanti membri quanti sono i suoi sottoinsiemi. In altre parole, nessun insieme è grande quanto l’insieme delle parti.

Si dimostra con metodo indiretto.

Si suppone che esista una corrispondenza biunivoca tra i numeri interi positivi e l'insieme delle parti degli interi positivi.

Si costruisce così la seguente tabella scrivendo Sì o No a seconda che il numero appartenga al sottoinsieme considerato oppure no.