Il paradosso di Achille e la tartaruga

Il pié veloce Achille è sfidato nella corsa da una lenta tartaruga, alla quale egli concede un vantaggio iniziale. Supponiamo che la velocità di Achille sia di 10 m/s e quella della tartaruga sia di 1 m/s . Dato che un segmento di retta, secondo l’insegnamento dei pitagorici, è formato da infinite porzioni di infinitesima grandezza, anche una pista da corsa deve rispondere agli stessi requisiti. Prima di poterla raggiungere egli deve pervenire al punto da cui la tartaruga è partita, ma nel frattempo questa sarà avanzata di un po’...

Il ragionamento di Zenone

Achille non raggiunge la tartaruga.

In 1/10 di secondo Achille raggiunge il punto in cui si trovava inizialmente la tartaruga: ma intanto essa si è mossa ed ha percorso uno spazio uguale ad 1/10 (in metri).

Per raggiungere la nuova posizione della tartaruga, Achille dovrà impiegare un altro tempo, uguale a 1/10/*1/10=0.01quindi, in tutto, avrà impiegato un tempo

t₂=1/10+1/100=0.11 (in secondi).

Ma Achille non ha ancora raggiunto la tartaruga, perché nel tempuscolo di 1/10 di secondo essa ha percorso 1/100 di metro. Achille arriverà a questa nuova posizione, ma impiegherà 1/1000 di secondo, e quindi un tempo complessivo

t₃=1/10+1/100+1/1000=0.111 e così si procede all'infinito.

Il ragionamento corretto

Achille raggiunge la tartaruga (e la supera...)..

Indichiamo con t il tempo necessario ad Achille per raggiungere la tartaruga; lo spazio percorso da Achille, dato da 10t, deve risultare uguale alla somma del vantaggio iniziale della tartaruga con lo spazio che essa percorre.

Si ottiene così l’equazione :

10t=1+t

che sappiamo risolvere senza difficoltà :

10t-t=1 cioè 9t=1

e, infine, t=1/9 (in secondi).

Il paradosso descritto da Zenone è generato dal fatto che anche la somma di infiniti elementi può dare per risultato un numero finito.