Percorso Scientifico

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MATEMATICA: il calcolo degli integrali

1 - INTRODUZIONE
Calcolo integrale Settore del calcolo infinitesimale che studia le proprietà delle funzioni di una o più variabili rispetto all’integrazione, operazione inversa della differenziazione. Scopo dell'integrazione è, data una funzione f, trovare una funzione F la cui derivata sia uguale a f, ovvero tale che f’ = f. La funzione F si dice integrale, o primitiva di f, e si scrive F(x) = Sf(x)dx o semplicemente F = Sf dx.

2 - L’OPERAZIONE DI INTEGRAZIONE
Per la valutazione degli integrali delle funzioni si ricorre abitualmente a tavole di integrazione, che discendono direttamente da quelle di derivazione: infatti, ad esempio, poiché la derivata di x2 è 2x, l'integrale di 2x sarà x2. Più precisamente, se F è una primitiva di f, l'integrale più generale di f è in realtà F + c, dove c è una costante di integrazione arbitraria. La presenza della costante è motivata dal fatto che, essendo nulla la sua derivata, l’integrale resta determinato a meno di una quantità additiva arbitraria, e si deve dunque scrivere: S2xdx = x2 + c.
Se gli estremi dell'intervallo di integrazione sono specificati, il risultato dell'operazione è un numero che prende il nome di integrale definito, altrimenti l'integrazione porta a una funzione Sf(x)dx = F(x) (più correttamente un insieme di funzioni F(x) + c). Il simbolo S, rappresenta la somma di un numero infinito di aree f(x)dx di rettangoli di altezza f(x) e base infinitesima dx; più precisamente, rappresenta il limite – che tende a infinito - di una somma di un numero finito di aree rettangolari, al tendere della loro base a zero.
Le regole fondamentali per l'integrazione delle funzioni composte sono simili a quelle della differenziazione. L'integrazione è un processo lineare, perciò l'integrale della somma o della differenza di due funzioni è la somma o la differenza dei rispettivi integrali, e lo stesso vale per funzioni moltiplicate per una costante. Così l'integrale di x = (1/2)2x è (1/2)x2, e, analogamente, Sxm dx = xm+1/(m + 1) per qualunque m diverso -1. Il valore m = -1 viene escluso per evitare la divisione per zero; la primitiva di x-1 = 1/x, infatti è, a meno di una costante additiva, il logaritmo naturale del valore assoluto di x, ln|x|.

3 - APPLICAZIONI
L'operazione di integrazione spesso presenta difficoltà maggiori rispetto alla derivazione, ma molte delle funzioni comuni possono essere agevolmente integrate per mezzo di regole relativamente semplici.
1) Il calcolo delle aree
Una classica applicazione dell'integrazione è il calcolo delle aree. Sia A l'area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione y = f(x) e l'asse delle x nell'intervallo a=x=b. Per semplicità, si assuma che f(x) = 0 tra a e b. Per ogni x maggiore uguale a, sia L(x) l'area della regione di piano sottesa dal grafico della funzione alla sinistra di x, cosicché si abbia A = L(b). Per prima cosa si differenzia L(x). Detta h una piccola variazione di x, la regione al di sotto della curva, nell'intervallo compreso tra x e x + h, può essere approssimata a un rettangolo di altezza f(x) e base h (vedi illustrazione Integrazione); la corrispondente variazione di area k = L(x + h) - L(x) è perciò approssimativamente f(x)h, e k/h è circa f(x). Quando h -> 0, k/h -> f(x) e L’(x) = f(x). Quindi L è un integrale di f, e tutti gli integrali F di f sono dati da L = F + c , dove c è la costante di integrazione. Inoltre L(a) = 0, quindi c = - F(a), e L(x) = F(x) - F(a) per ogni x maggiore uguale a. In particolare, A = L(b) = F(b) - F(a), e si scrive

Integrale

2) La caduta dei gravi
L’integrazione è l’operazione che permette, nota l’accelerazione di un corpo, di ricostruirne il moto. Infatti, se x è la variabile temporale e y lo spazio percorso da un corpo in movimento, dy/dx rappresenta la velocità v, e d2y/dx2 = dv/dx fornisce il ritmo con cui varia la velocità, ossia l'accelerazione. Utilizzando la seconda legge del moto di Newton, F = ma, siamo in grado, attraverso una doppia integrazione, di risalire allo spazio percorso dal corpo. Prendiamo l’esempio di un corpo di massa m che cade per effetto della forza gravitazionale, soggetto alla legge F = mg (g è il valore dell'accelerazione di gravità). Sarà a = g e quindi dv/dx = g. Integrando si ottiene v = gx + c, dove c è una costante; ponendo x = 0 si comprende come c rappresenti il valore della velocità iniziale. Un'integrazione successiva di dy/dx = v = gx + c fornisce il risultato y = 1/2gx2 + cx + b, dove b è un'altra costante che viene fissata imponendo nuovamente x = 0, e dunque in base alle condizioni iniziali del moto. Essa rappresenta lo spazio iniziale da cui il corpo è partito per il suo moto.

Fisica - Geografia Astronomica
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