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MATEMATICA: il calcolo degli integrali
1 - INTRODUZIONE Per la valutazione degli integrali delle funzioni si ricorre abitualmente a tavole di integrazione, che discendono direttamente da quelle di derivazione: infatti, ad esempio, poiché la derivata di x2 è 2x, l'integrale di 2x sarà x2. Più precisamente, se F è una primitiva di f, l'integrale più generale di f è in realtà F + c, dove c è una costante di integrazione arbitraria. La presenza della costante è motivata dal fatto che, essendo nulla la sua derivata, l’integrale resta determinato a meno di una quantità additiva arbitraria, e si deve dunque scrivere: S2xdx = x2 + c. Se gli estremi dell'intervallo di integrazione sono specificati, il risultato dell'operazione è un numero che prende il nome di integrale definito, altrimenti l'integrazione porta a una funzione Sf(x)dx = F(x) (più correttamente un insieme di funzioni F(x) + c). Il simbolo S, rappresenta la somma di un numero infinito di aree f(x)dx di rettangoli di altezza f(x) e base infinitesima dx; più precisamente, rappresenta il limite – che tende a infinito - di una somma di un numero finito di aree rettangolari, al tendere della loro base a zero. Le regole fondamentali per l'integrazione delle funzioni composte sono simili a quelle della differenziazione. L'integrazione è un processo lineare, perciò l'integrale della somma o della differenza di due funzioni è la somma o la differenza dei rispettivi integrali, e lo stesso vale per funzioni moltiplicate per una costante. Così l'integrale di x = (1/2)2x è (1/2)x2, e, analogamente, Sxm dx = xm+1/(m + 1) per qualunque m diverso -1. Il valore m = -1 viene escluso per evitare la divisione per zero; la primitiva di x-1 = 1/x, infatti è, a meno di una costante additiva, il logaritmo naturale del valore assoluto di x, ln|x|. 3 - APPLICAZIONI L'operazione di integrazione spesso presenta difficoltà maggiori rispetto alla derivazione, ma molte delle funzioni comuni possono essere agevolmente integrate per mezzo di regole relativamente semplici. 1) Il calcolo delle aree Una classica applicazione dell'integrazione è il calcolo delle aree. Sia A l'area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione y = f(x) e l'asse delle x nell'intervallo a=x=b. Per semplicità, si assuma che f(x) = 0 tra a e b. Per ogni x maggiore uguale a, sia L(x) l'area della regione di piano sottesa dal grafico della funzione alla sinistra di x, cosicché si abbia A = L(b). Per prima cosa si differenzia L(x). Detta h una piccola variazione di x, la regione al di sotto della curva, nell'intervallo compreso tra x e x + h, può essere approssimata a un rettangolo di altezza f(x) e base h (vedi illustrazione Integrazione); la corrispondente variazione di area k = L(x + h) - L(x) è perciò approssimativamente f(x)h, e k/h è circa f(x). Quando h -> 0, k/h -> f(x) e L’(x) = f(x). Quindi L è un integrale di f, e tutti gli integrali F di f sono dati da L = F + c , dove c è la costante di integrazione. Inoltre L(a) = 0, quindi c = - F(a), e L(x) = F(x) - F(a) per ogni x maggiore uguale a. In particolare, A = L(b) = F(b) - F(a), e si scrive 2) La caduta dei gravi |
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