E mentre i concetti del nulla, e di grandezze continue e discrete, sono istintivi e primitivi a livello ideativo, contare e conteggiare lo sono a livello di attività mentale.

Contare è infatti, secondo me, un'attività che è sempre esistita, e consiste nella semplice associazione mentale, fra oggetti che si vuole contare (grandezza discreta) ed altri oggetti del mondo reale.

Quando le cose da contare diventano troppe, si comincia a calcolare, ed allora, per facilitare la conta, gli oggetti immaginati per dar luogo all'associazione mentale, vengono trascritti, con ciò diventando dei simboli e/o si ricorre all'uso concreto di altri oggetti, per esempio le dita delle mani o i sassi.

Questi ultimi li impiegavano gli antichi Romani, e li chiamavano calculi, da cui deriva l'attuale termine calcoli.

Una nonna dell'antichità (come del resto molte delle nostre nonne), quando contava i propri nipoti, lo facevano in modo istintivo e primitivo, aiutandosi cioè con le dita delle mani. E così, schiudeva le dita dal suo pugno chiuso, pronunciando contemporaneamente i nomi di tutti i suoi nipoti. Quindi guardava le dita schiuse della sua mano, e ne trae la logica conclusione.

Le regole aritmetiche sono sopraggiunte solo in un secondo momento.

Ma ben prima dell'invenzione dei numeri e dell'aritmetica, gli esseri umani hanno, io credo, senz'altro tentato di stabilire anche, le dimensioni delle grandezze continue.

E per esempio: quanto spazio c'è fra due capanne, quanto è alto un albero, quanto tempo passa fra un'alba ed un tramonto.

Ed allora hanno cominciato a conteggiare.

Conteggiare è dunque, anch'essa, un'attività mentale che, in pratica, è sempre esistita, e consiste nell'esplicitazione di tre sottoattività, ovvero :

- suddividere (idealmente)
- contrassegnare
- leggere (o in subordine contare).

Se si ha intenzione di sapere quanto è grande una grandezza continua, intanto, siccome quest'ultima non ha una quantità minima indivisibile, si comincia da niente.

Ma è sicuro che il conteggio comincia da niente ? E cioè dal simbolo che noi oggi vi associamo, ovvero da zero ?

Seguiamo allora questa storia, dove, per semplicità, si usano i simboli numerici che oggi noi tutti conosciamo, ma che benissimo possiamo immaginare ambientata all'alba dell'uomo, con i simboli numerici e gli strumenti dell'epoca.

Ad un omino vengono indicate due stanze, e gli viene detto di contare ed etichettare numericamente, i mattoni presenti in ognuna di esse.

Lo avvertono però che nella stanza X, i mattoni da etichettare e contare, sono un pò strani, dato che, ognuno di essi, è a sua volta l'insieme di mattoni più piccoli.

Il nostro omino decide di cominciare dalla stanza Y.

Apre allora la porta, e vede 3 grossi mattoni.

Il nostro omino pensa di aver già ultimato metà del compito che gli è stato assegnato, e senza indugi va nella stanza X.

Entrando, si vedono soli 2 grossi mattoni.

"Qui le cose sono ancora più semplici e rapide", pensa il nostro omino, "debbo solo applicare le etichette 1 e 2, su quei due grossi mattoni, ed andare via."

Poi si ricorda dell'avvertimento ricevuto prima di cominciare.

Si avvicina dunque ad uno dei 2 grossi mattoni, e verifica che, effettivamente, quello che in realtà da lontano sembrava un unico blocco, in realtà è un grosso castello di 10 piccoli mattoni.

Dopo un pò pensa: "Quello che ho fra le mani, sono questi 10 piccoli mattoni."

"Ci sono e li vedo, dunque posso contarli e sistemarci sopra le etichette da 1 a 10."

Quando però, prende fra le mani, uno dei 10 piccoli mattoni, per applicarci sopra l'etichetta 1, si accorge che in realtà si tratta di un piccolo castello di 10 minuscoli mattoni.

Smonta il piccolo castello nei suoi 10 componenti e, naturalmente, quello che appariva come un piccolo mattone, in realtà non esiste più.

"E adesso che faccio ? ", pensa l'omino, "Dove sistemo quest'etichetta 1 ? Dato che il piccolo mattone non c'è più."

E, da qui in poi, procede in modo analogo a quanto descritto in precedenza, ancora per parecchio.

A un certo punto si stanca e pensa:

"Mi hanno chiesto di contare i mattoni, anche in questa stanza X, ma io non lo sto facendo."

"In realtà sto solo smontando castelli sempre più piccoli."

"Probabilmente, questa storia andrà avanti all'infinito."

"Vediamo se almeno riesco a capire da dove si comincia."

"Il grosso mattone iniziale, intanto, si compone di 10 piccoli mattoni."

"Se tento di ricostruire il grossomattone, debbo prendere uno dei 10 piccoli mattoni, e l'apporto, all'aspetto definitivo del grossomattone, è pari ad 1/10, ovvero 0,1."

"E allora vuol dire che si inizia da 0,1 e si procede, con passo 0,1, fino ad arrivare ad 1, ovvero al grossomattone nel suo aspetto completo."

"In realtà, però, ognuno dei 10 piccoli mattoni, si compone, a sua volta, di 10 minuscoli mattoni."

"Ma allora vuol dire che si inizia da 0,01 e si procede, con passo 0,01, fino ad arrivare ad 1, ovvero al grossomattone nel suo aspetto completo."

"In realtà, i 10 minuscoli mattoni, si compongono, a loro volta, di 10 microscopici mattoni, e questi ultimi, a loro volta, di mattoni ancora più piccoli e così via."

"Si passa infatti a 0,001, poi a 0,0001 e cosi via, con passo che è rispettivamente: 0,001, 0,0001 e così via."

"Se questa storia va avanti all'infinito, si inizierà da 0 e non esisterà più alcun passo, per cui si tratta di una grandezza continua, in corrispondenza biunivoca con tutti i numeri reali compresi fra 0 ed 1, con 0 incluso ed 1 escluso."

Questa storia insegna ed insegnò, agli esseri umani, che con le grandezze continue si comincia da niente (ovvero da zero), ma anche che lo spazio che c'era fra delle capanne messe in fila, o che il tempo che passava fra un alba ed un tramonto, si poteva stabilire quanto valevano, bastava conteggiare, ovvero:

- suddividere (idealmente)
- contrassegnare
- leggere (o in subordine contare).

Se si ha, infatti, intenzione, di stabilire quanto è grande una grandezza continua, bisogna prima suddividerla, di modo che, contrassegnando gli intervalli che ne ricavo, posso contarli (gli intervalli e non la grandezza continua), e se il contrassegno è di tipo numerico e sappiamo interpretarlo, basterà leggere.

Prima di proseguire, per semplicità (e solo per questo motivo), è preferibile usare i simboli numerici odierni, ma nulla toglie che si potrebbero usare altri simboli numerici, ed addirittura nessun simbolo per il nulla.

Fra l'altro è, storicamente accertato (paragrafo S.10), che perfino il nostro attuale sistema di numerazione, all'inizio, prevedeva per il nulla, un semplice spazio bianco.

Ed allora: suddividere, con un taglio netto, una grandezza continua, è possibile, ma solo idealmente.

Dopo il taglio, sappiamo, infatti, dove iniziano gli intervalli (il primo da 0, il secondo da 1, ......), ma non dove finiscono.

Ed infatti non siamo in grado di stabilire se il primo intervallo si chiude su:

0,9
0,99
0,999
e così via.

Quel che, però, è certo, è che quando avrò superato la tacca 1, ovvero l'estremo inferiore dell'intervallo 1, la grandezza continua, è sicuramente una quantità superiore ad 1.

Guardando all'indietro, cioè, conterò 1 solo intervallo completo.

E allora, se si è deciso di impiegare i simboli numerici: 0, 1, 2, 3, e così via, l'intervallo in cui mi trovo (il secondo intervallo), è e si chiama intervallo 1.

Domanda: come va contrassegnato l'intervallo compreso fra: 0 incluso ed 1 escluso ?

E allora si ragiona. Se, nel secondo intervallo, gli intervalli completi che conto, sono 1 soltanto, di conseguenza, il primo intervallo, non è l'intervallo 1, ma è e si chiama intervallo 0, anche perchè, il primo intervallo, in realtà, non si chiude mai su 1.

1, rimane, infatti, tagliato fuori dal primo intervallo, ed è solo l'inizio dell'intervallo successivo, ovvero l'intervallo 1.

A differenza dunque delle grandezze discrete, per le grandezze continue, non c'è coincidenza fra ordinale e cardinale :

1° (primo) coincede con 0 (zero)
2° coincede con 1
3° coincede con 2
e così via.

Dopo che avrò suddiviso (idealmente) e contrassegnato, per poter capire quanto spazio c'è fra delle capanne messe in fila, ci sono due possibilità.

Contare gli intervalli, e gli eventuali sottointervalli.

Oppure, se si è in grado di interpretare i simboli numerici, semplicemente basterà leggere come sono contrassegnati gli intervalli finali e gli eventuali sottointervalli, che separano fra loro le capanne.

Se, per esempio, gli intervalli sono stati frazionati in 10 intervalli più piccoli, e se, relativamente allo spazio fra due capanne della fila, sull'intervallo finale si legge 2 (abbiamo cioè superato la tacca 2), mentre sul sottointervallo finale si legge 3, vuol allora dire che, lo spazio fra le due capanne, è superiore, ma vicinissimo, a 2 intervalli grandi (l'intervallo 0 e l'intervallo 1, e che, se non so interpretare la tacca, conto), e a 3 sottointervalli (il sottointervallo 0, il sottointervallo 1 ed il sottointervallo 2, e che, se non so interpretare la tacca, conto).

Insomma, la distanza cercata è superiore, ma vicinissima, al numero reale 2,3.

Le grandezze continue, dunque, si conteggiano, quelle discrete si contano, e mentre con le prime si comincia da zero, ovvero dal nulla dei nostri antenati, con le seconde si comincia da uno.

Suddividere e contrassegnare noi oggi diciamo che è una sorta di discretizzazione, proprio perché ricaviamo da una grandezza continua, una grandezza discreta.

Si è già detto che l'attività del conteggio, ha preceduto l'azione del misurare.

Misurare, che è più un processo del corpo che della mente, nasce, infatti, solo dalla necessità di far capire il risultato di un conteggio ad altre persone.

Misurare, dunque, presuppone che ci si sia messi d'accordo:

- sui simboli numerici (e se ordinali o cardinali) da usare per contrassegnare gli intervalli
- su dove fissare l'origine, ovvero il punto zero e l'intervallo zero
- sul campione di misura da usare, ovvero sul significato da dare alla frase: da zero ad uno.

E infine, per misurare, debbo usarlo questo campione, eventualmente ricorrendo ad uno strumento di misura che lo contempla.

Se una grandezza continua l'ho conteggiata (o misurata), e poi l'approssimo ad un numero di cifre inferiori, col che si ignorano o si aggiungono degli intervalli più piccoli, allora si dice che arrotondiamo.