Introduzione ai numeri reali. Maggioranti e minoranti, massimo e minimo,
estremo superiore ed estremo inferiore.
La proprietà dell'estremo superiore.
Funzioni algebriche. Potenza ad esponente reale; le funzioni potenza,
esponenziale e logaritmo. Funzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente;
funzioni trigonometriche inverse.
Le funzioni e i grafici; operazioni
con le funzioni. Funzioni monotòne; invertibilità delle
funzioni strettamente monotone.
Definizione di continuità e continuità uniforme.
Numeri naturali: proprietà di
Archimede. Principio di induzione e sue applicazioni; definizioni per
ricorrenza.
Successioni. Limite di una successione convergente. Operazioni con i limiti.
Teoremi del confronto e
della permanenza del segno; teorema dei carabinieri.
Collegamento tra continuità e limiti di succenssioni.
I reali estesi e gli intervalli. Successioni divergenti.
Definizione generale di limite.
Regolarità delle successioni monotone; il numero di Nepéro.
Sottosuccessioni; teorema di Bolzano-Weierstrass.
Successioni di Cauchy. Cenni sull'estensione di funzioni uniformemente continue.
Limiti di funzioni. Intorni e punti di accumulazione. Limite destro e
limite sinistro. Limiti fondamentali delle funzioni elementari.
Cambiamento di variabile nei limiti. Limiti notevoli.
Operazioni con le funzioni continue; continuità
della composizione di due funzioni continue.
Continuità dell'inversa di una funzione monotona su un intervallo.
Continuità delle funzioni elementari.
Classificazione dei punti di discontinuità.
Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi.
Teorema di Heine-Cantor. Teorema di Weierstrass.
Derivabilità. Significato geometrico
della derivata.
Derivazione delle funzioni elementari; regole di derivazione.
Punti di massimo e minimo relativo; teorema di Fermat. Andamento di una funzione
derivabile. Teoremi di Rolle, Lagrange, e Cauchy; teorema di
De L'Hôpital.
Convessità e concavità; punti di flesso. Relazione tra la
convessità di una funzione in un intervallo e il segno della derivata
seconda. Studio di funzioni.