Occultazioni lunari radenti
Occultazioni lunari: teoria.
Le occultazioni lunari radenti sono un caso speciale delle occultazioni lunari totali. Alle occultazioni lunari è stato dedicato un sito (il primo in lingua italiana) e anche un lavoro che illustra i metodi di calcolo per cui è inutile ogni ripetizione. Ricordo solo alcune nozioni fondamentali.
Occultazione. Si definisce occultazione l’oscuramento di un corpo celeste da parte di un altro di maggiore diametro apparente: in modo speciale è il passaggio della Luna davanti una stella o un pianeta oppure è la scomparsa di un satellite dietro il disco del suo primario. Se la principale sorgente di illuminazione di un corpo riflettente è interrotta dall’occultazione, il fenomeno è anche chiamato eclisse. L’occultazione del Sole da parte della Luna è un’eclisse solare.
L'occultazione va interpretata e studiata nel suo aspetto fotometrico (oscuramento di un corpo luminoso o illuminato da un altro corpo) ed in quello cinematico di cui, nell'attuale contesto, esamineremo la possibilità di calcolare, disegnandoli, i limiti entro i quali sarà visibile un'occultazione prendendo come riferimento la superficie terrestre. Se si addotta in prima approssimazione un metodo di calcolo semplificato in tal caso è più corretto parlare di "geometria del movimento". Al piano fondamentale di Bessel con origine nel centro dell'ellissoide terrestre verrà sostituito un piano tangente alla calotta sferica celeste con angolo al centro di circa 30 – 35' (primi) sessagesimali. Come è facilmente verificabile, questa è la condizione che compare allorché si confrontino due posizioni della Luna prese a un intervallo di circa un'ora.
È però consigliato che il calcolo delle occultazioni avvenga facendo uso del metodo di Bessel in quanto il metodo semplificato non permette di ottenere con facilità i ben noti coefficienti di stazioni a e b gli unici che possono stabilire una relazione differenziale dell'andamento dell'occultazione nelle vicinanze della stazione di calcolo (non oltre i 400 km se si accetta un errore nei tempi di circa due minuti). Tuttavia nella pubblicazione dei risultati dei calcoli delle occultazioni di luna radenti si omettono i suddetti coefficienti in quanto la loro variazione (gradi per minuto di tempo UT) è talmente elevata da rendere inaffidabili sia i tempi che l'effettivo svolgersi del fenomeno per una località distante anche solo pochissimi chilometri o addirittura poche centinaia di metri da quella di calcolo.
Se la superficie lunare fosse priva di asperità potremmo dire che la condizione teorica che definisce l'inizio o il termine di un'occultazione lunare sarebbe sempre rispettata. Essa dice che al tempo del contatto della stella al bordo della Luna, la distanza sferica fra il centro di figura della Luna e la stella eguaglia il semidiametro topocentrico (vale a dire riferito a un preciso luogo terrestre) della Luna medesima. Lo scarto angolare fra il centro di massa e il centro di figura della Luna viene corretto nella latitudine e longitudine lunare in base a osservazioni del passato. L'importo complessivo dello spostamento fra i due centri è sempre minore di 1 secondo d'arco.
Occultazioni lunari: mappa di visibilità.
Ricordiamo che con x’, y’ abbiamo indicato le variazioni orarie di x e y così esprimibili:
x1 = x’ t1
y1 = Y + y’ t1
Le coordinate del centro dell’ombra della Luna sulla superficie della Terra al Tempo Universale t della congiunzione in ascensione retta sono date da:
x1 = x’ t1
y1 = Y + y’ t1 (1.6.1)
z1 = (1 - x12 - y12) 0,5
Dove z è misurato nella direzione dell’ombra dal piano fondamentale verso la Luna. Le coordinate rettangolari (x, h, z ) del bordo dell’ombra sulla superficie della Terra sono date da:
x = x1 - k sin Q
h = y1 - k cos Q (1.6.2)
z = (1 - x2- h2) 0,5
Dove k = 0,2725 è il raggio della Luna espresso in raggi terrestri e Q sono i cicli espressi da 0° a 360°. La longitudine e la latitudine (l, j) di un punto posto sul bordo dell’ombra sono ottenute con la seguente equazione, nella quale si sostituirà (x, y, z) con (x, h, z).
j = asin (y cos d + z sin d)
h = atan {x / [(- y sin d) + (z cos d)]} (1.6.3)
l = h - (H + 15 × 1,002738 t)
Si proiettino le longitudini e le latitudini dei continenti, delle isole e delle località d’interesse su di un piano passante per il centro della Terra e perpendicolare alla direzione definita da un vettore dal centro della Terra al luogo lc, jc dove con (lc, jc) si indicano la longitudine e la latitudine del centro dell’ombra al momento della congiunzione. Questo piano ruota con la Terra e coincide col piano fondamentale alla congiunzione. Le coordinate rettangolari di un luogo posto alla longitudine e latitudine (l, j) sono date da:
u = cos j sin (l - lc)
v = sin j cos jc - cos j sin jc cos (l - lc) (1.6.4)
w = sin j sin jc + cos j cos jc cos (l - lc)
Dove u e v sono nel piano con origine nel centro della Terra; u è a Est, v è a Nord e W è l’altezza del luogo dal piano; w ³ 0 per tutti i luoghi che si disegneranno. Quando x2 + h2 > 1 l’ombra della Luna lambirà solo in parte la Terra. Per trovare i valori Q1 e Q2 dove il bordo dell’ombra taglia la superficie della Terra si osservi la Figura 9.41.1. L’arco AB compreso fra gli angoli polari q 1 e q 2 verrà disegnato ponendo x = cos q y = sin q e z = 0 e utilizzando le equazioni (1.6.3) e (1.6.4). Gli angoli polari si determinano nel modo seguente. Si calcolino Q1 e Q2 tramite:
sin (Q1 + S) = (k2 + D2 - 1) / (2 kD) e Q2 = 180° - Q1 - 2S.
Nelle quali:
D = (xo2 - yo2) 0,5 e S = atan (yo / xo)
Quindi per i = 1 e 2
x i = xo- k sin Q i
hi = yo - k cos Q i
q i = atan (hi / x i) 0° £ q i £ 360°.
L’area totale di visibilità dell’occultazione potrà essere disegnata ripetendo i calcoli per una serie di istanti, sul medesimo diagramma, per l’inizio e per il termine dell’occultazione.
Una procedura simile a quella poc’anzi descritta potrebbe essere applicata per predire l’area di visibilità di pianeti da parte della Luna.
Occultazioni lunari: indirizzi web.
International Lunar Occultation Center (ILOC)
IOTA (Information Site for Lunar Occultations & Grazes)
Jean Schwaenen (Le site des occultations d'étoiles par la Lune)
Occultazioni lunari (Occultations lunaire et planétaires)
Occultazioni lunari calcolate con il metodo di Bessel (Calculs de grande précision des occultations de la Lune.)
Società Italiana di Meccanica Celeste e Astrodinamica (SIMCA, Societé italienne de mécanique céleste et astrodynamique)
Occultazioni lunari: teoria.
Le occultazioni lunari radenti sono un caso speciale delle occultazioni lunari totali. Alle occultazioni lunari è stato dedicato un sito (il primo in lingua italiana) e anche un lavoro che illustra i metodi di calcolo per cui è inutile ogni ripetizione. Ricordo solo alcune nozioni fondamentali.
Occultazione. Si definisce occultazione l’oscuramento di un corpo celeste da parte di un altro di maggiore diametro apparente: in modo speciale è il passaggio della Luna davanti una stella o un pianeta oppure è la scomparsa di un satellite dietro il disco del suo primario. Se la principale sorgente di illuminazione di un corpo riflettente è interrotta dall’occultazione, il fenomeno è anche chiamato eclisse. L’occultazione del Sole da parte della Luna è un’eclisse solare.
L'occultazione va interpretata e studiata nel suo aspetto fotometrico (oscuramento di un corpo luminoso o illuminato da un altro corpo) ed in quello cinematico di cui, nell'attuale contesto, esamineremo la possibilità di calcolare, disegnandoli, i limiti entro i quali sarà visibile un'occultazione prendendo come riferimento la superficie terrestre. Se si addotta in prima approssimazione un metodo di calcolo semplificato in tal caso è più corretto parlare di "geometria del movimento". Al piano fondamentale di Bessel con origine nel centro dell'ellissoide terrestre verrà sostituito un piano tangente alla calotta sferica celeste con angolo al centro di circa 30 – 35' (primi) sessagesimali. Come è facilmente verificabile, questa è la condizione che compare allorché si confrontino due posizioni della Luna prese a un intervallo di circa un'ora.
È però consigliato che il calcolo delle occultazioni avvenga facendo uso del metodo di Bessel in quanto il metodo semplificato non permette di ottenere con facilità i ben noti coefficienti di stazioni a e b gli unici che possono stabilire una relazione differenziale dell'andamento dell'occultazione nelle vicinanze della stazione di calcolo (non oltre i 400 km se si accetta un errore nei tempi di circa due minuti). Tuttavia nella pubblicazione dei risultati dei calcoli delle occultazioni di luna radenti si omettono i suddetti coefficienti in quanto la loro variazione (gradi per minuto di tempo UT) è talmente elevata da rendere inaffidabili sia i tempi che l'effettivo svolgersi del fenomeno per una località distante anche solo pochissimi chilometri o addirittura poche centinaia di metri da quella di calcolo.
Se la superficie lunare fosse priva di asperità potremmo dire che la condizione teorica che definisce l'inizio o il termine di un'occultazione lunare sarebbe sempre rispettata. Essa dice che al tempo del contatto della stella al bordo della Luna, la distanza sferica fra il centro di figura della Luna e la stella eguaglia il semidiametro topocentrico (vale a dire riferito a un preciso luogo terrestre) della Luna medesima. Lo scarto angolare fra il centro di massa e il centro di figura della Luna viene corretto nella latitudine e longitudine lunare in base a osservazioni del passato. L'importo complessivo dello spostamento fra i due centri è sempre minore di 1 secondo d'arco.
Occultazioni lunari: mappa di visibilità.
Ricordiamo che con x’, y’ abbiamo indicato le variazioni orarie di x e y così esprimibili:
x1 = x’ t1
y1 = Y + y’ t1
Le coordinate del centro dell’ombra della Luna sulla superficie della Terra al Tempo Universale t della congiunzione in ascensione retta sono date da:
x1 = x’ t1
y1 = Y + y’ t1 (1.6.1)
z1 = (1 - x12 - y12) 0,5
Dove z è misurato nella direzione dell’ombra dal piano fondamentale verso la Luna. Le coordinate rettangolari (x, h, z ) del bordo dell’ombra sulla superficie della Terra sono date da:
x = x1 - k sin Q
h = y1 - k cos Q (1.6.2)
z = (1 - x2- h2) 0,5
Dove k = 0,2725 è il raggio della Luna espresso in raggi terrestri e Q sono i cicli espressi da 0° a 360°. La longitudine e la latitudine (l, j) di un punto posto sul bordo dell’ombra sono ottenute con la seguente equazione, nella quale si sostituirà (x, y, z) con (x, h, z).
j = asin (y cos d + z sin d)
h = atan {x / [(- y sin d) + (z cos d)]} (1.6.3)
l = h - (H + 15 × 1,002738 t)
Si proiettino le longitudini e le latitudini dei continenti, delle isole e delle località d’interesse su di un piano passante per il centro della Terra e perpendicolare alla direzione definita da un vettore dal centro della Terra al luogo lc, jc dove con (lc, jc) si indicano la longitudine e la latitudine del centro dell’ombra al momento della congiunzione. Questo piano ruota con la Terra e coincide col piano fondamentale alla congiunzione. Le coordinate rettangolari di un luogo posto alla longitudine e latitudine (l, j) sono date da:
u = cos j sin (l - lc)
v = sin j cos jc - cos j sin jc cos (l - lc) (1.6.4)
w = sin j sin jc + cos j cos jc cos (l - lc)
Dove u e v sono nel piano con origine nel centro della Terra; u è a Est, v è a Nord e W è l’altezza del luogo dal piano; w ³ 0 per tutti i luoghi che si disegneranno. Quando x2 + h2 > 1 l’ombra della Luna lambirà solo in parte la Terra. Per trovare i valori Q1 e Q2 dove il bordo dell’ombra taglia la superficie della Terra si osservi la Figura 9.41.1. L’arco AB compreso fra gli angoli polari q 1 e q 2 verrà disegnato ponendo x = cos q y = sin q e z = 0 e utilizzando le equazioni (1.6.3) e (1.6.4). Gli angoli polari si determinano nel modo seguente. Si calcolino Q1 e Q2 tramite:
sin (Q1 + S) = (k2 + D2 - 1) / (2 kD) e Q2 = 180° - Q1 - 2S.
Nelle quali:
D = (xo2 - yo2) 0,5 e S = atan (yo / xo)
Quindi per i = 1 e 2
x i = xo- k sin Q i
hi = yo - k cos Q i
q i = atan (hi / x i) 0° £ q i £ 360°.
L’area totale di visibilità dell’occultazione potrà essere disegnata ripetendo i calcoli per una serie di istanti, sul medesimo diagramma, per l’inizio e per il termine dell’occultazione.
Una procedura simile a quella poc’anzi descritta potrebbe essere applicata per predire l’area di visibilità di pianeti da parte della Luna.
Occultazioni lunari: indirizzi web.
International Lunar Occultation Center (ILOC)
IOTA (Information Site for Lunar Occultations & Grazes)
Jean Schwaenen (Le site des occultations d'étoiles par la Lune)
Occultazioni lunari (Occultations lunaire et planétaires)
Occultazioni lunari calcolate con il metodo di Bessel (Calculs de grande précision des occultations de la Lune.)
Società Italiana di Meccanica Celeste e Astrodinamica (SIMCA, Societé italienne de mécanique céleste et astrodynamique)
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