I •  Il suono

I.1                             Il Suono                             .

 

 

 

Il segreto dell’armonia sta nel magico potere dei numeri

Pitagora

 

 

 

È assolutamente vero.

Sono i numeri, tanto cari anche ai nostri poliedrici artisti rinascimentali, a creare l’armonia, ed è attraverso i numeri che si entra in un sistema ordinato come può essere una qualsiasi forma d’arte universalmente accettata [1] e considerata tale. Dalle messe cicliche di Ockeghem al Gesang der juenglinge di Stockhausen, dalle proporzioni umane di Policleto all’Uomo vitruviano di Leonardo, dalla Flagellazione di Piero della Francesca alla facciata di Santa Maria Novella (Firenze) dell’Alberti, i rapporti matematici e quindi i numeri hanno da sempre giocato un ruolo da protagonisti per la realizzazione del bello.

La musica è costituita da suoni, ma non è detto che i suoni siano necessariamente musica!

I suoni sono onde che si propagano in un mezzo, questo mezzo per noi è l’aria.

Disegniamo quindi un suono:

Lo chiameremo tono puro, in quanto è la più semplice parte del suono, non è ulteriormente scomponibile e la somma di più toni puri dà origine ad un suono complesso; stiamo parlando della sinusoide, mattone del suono.

Toni puri in natura non esistono, l’onda sonora del diapason tuttavia si avvicina molto (di conseguenza anche il suono) ma non è ancora un tono puro; questi, sono riproducibili solo attraverso oscillatori.

Una qualsiasi onda per essere generata ha bisogno di almeno due parametri:

·        Ampiezza

·        Frequenza

L’ampiezza dell’onda determina l’intensità del tono.

La frequenza (misurata in Hertz) determina l’altezza tonale (picht), ed è il numero di cicli che compie un onda in un secondo. Vediamo sotto:

 

 

Per essere percepito da un essere umano, un suono, deve avere una frequenza compresa tra i 20 Hz e i 16-20 KHz (16000-20000 Hz); se si superano tali limiti non sentiamo più nulla. Oltre i 20 KHz entriamo nel campo degli ultrasuoni (percepibili però da pipistrelli e cani), sotto i 20 Hz in quello degli infrasuoni (delfini e balene).

 

 

Attorno ai 20 Hz avviene uno strano fenomeno: la scala dell’altezza diventa quella del tempo! Abbiamo detto che sotto i 20 Hz non percepiamo più suoni, ma allora cosa percepiamo?

Prendiamo degli impulsi (suoni di brevissima durata simili al click del metronomo) ed emettiamone uno ogni secondo, ciò che sentiremo sarà un impulso al secondo. Ora aumentiamo la velocità, 10 al secondo, ovvero uno ogni 1/10 di secondo, ovvero 10 Hz; sentiremo sempre degli impulsi, ma con ritmo più veloce. Ora portiamo la velocità a 30 impulsi al secondo: sentiremo un suono stazionario con una frequenza di 30 Hz, non percepiremo più i singoli suoni. Aumentando ancora sentiremo questo suono salire lungo la scala dell’altezza tonale.

 

 

 

Attorno ai 20 Hz ci sarà quindi una zona di transizione.

 

Un suono complesso è un insieme di toni puri dove il più basso prende il nome di fondamentale (o armonica fondamentale) e tutti gli altri di sovratoni (chiamati anche armoniche). I sovratoni sono sempre multipli della fondamentale, sono dunque disposti in rapporto armonico cosicché troviamo la seconda armonica di frequenza doppia rispetto alla fondamentale, la terza armonica sarà il triplo, la quarta sarà il quadruplo e così via.

È questo rapporto armonico che determina l’armonia naturale.

 

I.2                             Armonia Naturale                             .

 

 

Era noto già ai greci che in un monocordo [3] , l’intonazione è direttamente proporzionale alla lunghezza ed avevano espresso tali rapporti in semplici frazioni.

Pitagora per esempio, è giunto alla conclusione che il diapason [4] è inversamente proporzionale all’intonazione (altezza tonale); mettendo quindi il ponticello a metà del nostro monocordo otterremo una frequenza doppia rispetto alla corda a vuoto, ad un terzo la frequenza sarà tripla.

La stessa sequenza la ritroviamo in un suono complesso, dove se scomponiamo tutte le compononenti troviamo delle sinusoidi tutte multiple di quella più bassa, la fondamentale.

 

 

 

Estendiamo quindi la serie degli overtoni generati da una corda in vibrazione intonata a 110Hz (LA₂) [5] . Balza subito all’occhio che al crescere delle armoniche, gli intervalli musicali diventano via via più stretti (1° - 2° arm = ottava; 7° - 8° arm = tono): questo perché la stessa nota si ripete all’ottava superiore con frequenza doppia. Se tra 110 e 220 Hz abbiamo un’ottava, anche tra 220 e 440 Hz, anche 440 e 880Hz!

 

 

 

Concludiamo infine che lunghezza d’onda è proporzionale alla porzione di corda ed inversamente proporzionale alla frequenza dei cicli. È interessante notare (lo si può vedere nella pagina seguente) la costante del numero 2.

Pitagora sostiene giusto!

 

 

 

 

 

I.3                             Tavola delle Armoniche                             .

 

 

In questo specchietto sono illustrate 256 armoniche di tre suoni intonati. Si noti che la fondamentale appare all’ottava in modo esponenziale a 2:

 

 

Significa che all’interno di queste ottave ci saranno tanti suoni quanto è il numero dell’armonica rispetto alla fondamentale.

 

esempio:

Tra la 16° e la 32° armonica ci saranno sedici suoni.

Tra la 64° e la 128° armonica ce ne saranno sessantaquattro.

 

N° Arm. Freq fond. Hz Freq. Arm. Hz Nota corrisp. 1° 16,35 16,35 DO0 2° 16,35 32,7 DO1 3° 16,35 49,05   4° 16,35 65,4 DO2 5° 16,35 81,75   6° 16,35 98,1   7° 16,35 114,45   8° 16,35 130,8 DO3 9° 16,35 147,15   10° 16,35 163,5   11° 16,35 179,85   12° 16,35 196,2   13° 16,35 212,55   14° 16,35 228,9   15° 16,35 245,25   16° 16,35 261,6 DO4 17° 16,35 277,95   18° 16,35 294,3   19° 16,35 310,65   20°-29° ::: ::: ::: 30° 16,35 490,5   31° 16,35 506,85   32° 16,35 523,2 DO5 33° 16,35 539,55   34° 16,35 555,9   35°-61° ::: ::: ::: 62° 16,35 1013,7   63° 16,35 1030,05   64° 16,35 1046,4 DO6 65° 16,35 1062,75   66°-124° ::: ::: ::: 125° 16,35 2043,75   126° 16,35 2060,1   127° 16,35 2076,45   128° 16,35 2092,8 DO7 129° 16,35 2109,15   130°-255° ::: ::: ::: 256° 16,35 4185,6 DO8

N° Arm. Freq fond. Hz Freq. Arm. Hz Nota corrisp. 1° 110 110 LA2 2° 110 220 LA3 3° 110 330   4° 110 440 LA4 5° 110 550   6° 110 660   7° 110 770   8° 110 880 LA5 9° 110 990   10° 110 1100   11° 110 1210   12° 110 1320   13° 110 1430   14° 110 1540   15° 110 1650   16° 110 1760 LA6 17° 110 1870   18° 110 1980   19° 110 2090   20°-29° ::: ::: ::: 30° 110 3300   31° 110 3410   32° 110 3520 LA7 33° 110 3630   34° 110 3740   35°-61° ::: ::: ::: 62° 110 6820   63° 110 6930   64° 110 7040 LA8 65° 110 7150   66°-124° ::: ::: ::: 125° 110 13750   126° 110 13860   127° 110 13970   128° 110 14080 LA9 129° 110 14190   130°-255° ::: ::: ::: 256° 110 28160 LA10

N° Arm. Freq fond. Hz Freq. Arm. Hz Nota corrisp. 1° 440 440 LA4 2° 440 880 LA5 3° 440 1320   4° 440 1760 LA6 5° 440 2200   6° 440 2640   7° 440 3080   8° 440 3520 LA7 9° 440 3960   10° 440 4400   11° 440 4840   12° 440 5280   13° 440 5720   14° 440 6160   15° 440 6600   16° 440 7040 LA8 17° 440 7480   18° 440 7920   19° 440 8360   20°-29° ::: ::: ::: 30° 440 13200   31° 440 13640   32° 440 14080 LA9 33° 440 14520   34° 440 14960   35°-61° ::: ::: ::: 62° 440 27280   63° 440 27720   64° 440 28160 LA10 65° 440 28600   66°-124° ::: ::: ::: 125° 440 55000   126° 440 55440   127° 440 55880   128° 440 56320 LA11 129° 440 56760   130°-255° ::: ::: ::: 256° 440 112640 LA12

 

Va ricordato che l’orecchio percepisce frequenze che vanno dai 20 ai 20.000Hz; sono segnate in grigio le frequenze non percepibili.

I.4                                Il Timbro                                .

 

 

In natura, il timbro è dato dai rapporti d’ampiezza tra i vari sovratoni. Il timbro è ciò che ci permette di riconoscere per esempio il suono di un clarinetto da quello di un oboe. Il timbro è quindi il colore del suono.

Rappresentiamo sotto un suono di 100 Hz in cui sono presenti le prime otto armoniche e indichiamo per ognuna la frequenza seguita dal rapporto d’ampiezza rispetto alla fondamentale.

 

 

Fondamentale = 100 Hz – 1

1° sovratono = 200 Hz – 1/2

2° sovratono = 300 Hz – 1/3

3° sovratono = 400 Hz – 1/3

4° sovratono = 500 Hz – 1/6

5° sovratono = 600 Hz – 1/2

6° sovratono = 700 Hz – 1/8

7° sovratono = 800 Hz – 1/2

 

 

 

 

La somma delle armoniche determina il timbro, mentre la percezione dell’altezza possiamo dire in linea di massima che avviene grazie alla fondamentale (Teoria sulla percezionedel pitch di Helmoltz) [6] , l’intensità invece dall’ampiezza di queste onde.

 

 

Si osservino un paio di esempi; oltre alla rappresentazione dell’onda, viene illustrato al di sotto l’ampiezza delle singole armoniche che formano l’onda tonale.

 

I.5                             Consonanza e Dissonanza                             .

 

 

Brevemente: la consonanza si ha quando due o più suoni suonano bene al nostro orecchio, la dissonanza quando suonano male. Più che da un fattore estetico e culturale, la consonanza (di conseguenza la dissonanza) deriva, come tutta l’armonia e il percorso evolutivo musicale [7] , dall’armonia naturale, cioè la serie delle armoniche:

 

la consonanza tra due o più suoni è direttamente proporzionale alle armoniche in comune.

 

I.5.1                    Consonanza d’ottava

Delle prime 8 armoniche ben 4 sono in comune ai due suoni.

Più armoniche sono in comune a due suoni, più si può dire che essi formano un intervallo consonante.

 

I.5.2                    Consonanza di quinta

Anche l’intervallo di quinta è molto consonante, ben 2 armoniche in comune.

Dopo l’ottava, l’intervallo più consonante è la quinta.

I.5.3                    Dissonanza del tritono

Molto dissonante, tra le prime otto armoniche, nessuna combacia, anzi, essendo molto ravvicinate creano un effetto simile ad un ululato chiamato battimento, molto utile in fase d’accordatura, infatti, se siamo accordati quando non percepiamo più alcun battimento.

Il battimento è un fenomeno di modulazione in ampiezza [8] tra due suoni molto vicini percepiti come un unico suono. Oltre una certa distanza (microintervallo) questi sono percepiti separatamente.

 

Dati due toni (f₁ ed f₂), inizialmente di frequenza uguale, si fa crescere il secondo. Iniziamo a percepire una lenta modulazione in ampiezza, che aumenta in frequenza man mano che sale di tono il secondo suono. Aumenta così tanto che ad un certo punto sentiamo un suono “ruvido”, dopodiché percepiamo chiaramente i due suoni distinti.

 

I battimenti sono alla base del tirato all’unisono nella chitarra: mentre una nota rimane ferma, un’altra viene tirata (alzata) di tono fino a raggiungere l’unisono con la prima. Se il suono passa inoltre attraverso un amplificatore a valvole e magari le satura anche, siamo a nozze! Sentiamo la chitarra urlare.

Nella letteratura chitarristica esempi certo non mancano, l’inizio di Crying machine di Steve Vai

 

 

 

 

I.7                             Carta delle Frequenze                             .

 

 

Stiamo attenti a non prendere per oro colato questa tabella. Come già detto, essa è frutto di un compromesso: il temperamento equabile. Non ha quindi nulla, a che fare con l’armonia naturale, è una convenzione. È stato scelto di fissare il LA₄ a 440 Hz, di conseguenza sono state trovate e quindi stabilite anche le altre frequenze.

 

 

I.7                             Temperamento                             .

 

 

 

Temperare significa mescolare nelle giuste proporzioni. Nel nostro caso indica la suddivisione dell’ottava, appunto nelle giuste proporzioni, che saranno in ogni modo dettate da canoni estetici o da esigenze pratiche. Il temperamento stabilisce quindi le proporzioni tra le altezze, da cui si estrapolerà la scala musicale, ovvero una successione ordinata e ripetibile di suoni (note musicali), il magma sonoro da dove il compositore attinge per creare. La tavolozza del pittore. Il temperamento è infine la parte nascosta della musica, è l’ossatura matematica del sistema musicale, sconosciuta alla maggior parte dei fruitori di musica, ma di assoluta importanza.

 

Nel nostro caso, temperare, significa quindi come e quanto suddividere l’ottava:

 

 

 

 

I.7.1                    Temperamento pitagorico

Fu Pitagora a proporre, già nel VI sec a.C., la scala diatonica a sette suoni; un po’ per celesti proporzioni (numero 7), ma soprattutto per i semplici rapporti che la costituiscono; operando dunque sulle relazioni tra lunghezza della corda vibrante e suono emesso, attraverso l’intervallo di quinta al monocordo Pitagora trova ed organizza i sette suoni che da allora si usano.

Scopo di Pitagora era trovare semplici rapporti che regolassero lunghezza e intonazione di una corda vibrante, riuscì peraltro a trovare la consonanza per gli intervalli di ottava quinta e quarta; mentre per la terza sesta e settima, non ancora perfettamente consonanti, si dovrà aspettare il II secolo cristiano; giocava a suo favore che la musica del tempo era prettamente monodica [9] , non creava quindi grossi problemi un intervallo non perfettamente intonato (una non perfetta consonanza crea più danni in un’armonia che in una melodia).

 

 

 

Ordinate su un’unica ottava:

 

 

Ed ecco ora i rapporti tra i vari intervalli trovati da Pitagora:

 

 

 

I.7.2                    Temperamento zarliniano o naturale

Fu Tolomeo (II sec d.C.) che trovò la terza naturale mancante a Pitagora, e con essa (con un salto di quarta) arrivò alla sesta, ed alla settima (salto di quinta). Il suo sistema, chiamato anche giusto, dovette però attendere Zarlino (XVI sec d.C.) per poter essere valorizzato e Monteverdi per poter essere utilizzato. Il temperamento naturale è il più genuino che possa esistere in quanto ricalca la disposizione delle armoniche di un suono intonato; le relazioni tra i gradi della scala rispetto alla tonica sono quindi le stesse che intercorrono tra le armoniche e la fondamentale. Non c’è mai stata terza così consonante!

Ma come ben sappiamo, nessuno regala nulla, e anche nel meraviglioso temperamento c’è un prezzo da pagare: l’impossibilità di modulare [11] ai toni lontani.

Questi rapporti risultano così perfetti perché generati da un'unica nota (tonica [12] ), modulare significherebbe quindi cambiarla, ed i rapporti stessi verrebbero compromessi. Se si modula a toni vicini l’errore è ancora accettabile (di fatto viene cambiato un solo suono, e le relazioni tra i gradi viene leggermente modificata), ma risulta improponibile modulare ad un tono lontano in quanto lo strumento risulterebbe completamente scordato.

Per offrire ai compositori la possibilità di una modulazione vicina venivano realizzate le “tastiere spezzate”, tastiere con doppie alterazioni, in modo da avere un suono per il DO# ed uno per il REb. Celebre è l’archicembalo ideato da Nicola Vicentino (XVI sec), dove l’ottava viene spartita tra due tastiere rispettivamente di 17 e 19 tasti, ottenendo così (escluse note doppie) un’ottava con 31 suoni!

 

 

 

Il temperamento di Tolomeo/Zarlino [13] è chiamato anche naturale, perché i rapporti da lui trovati sono quelli presenti in natura, il suo temperamento non è stato inventato, è stato scoperto. Proviamo ora a trovarci i suoni della scala di LA maggiore e a vedere in che rapporto sono con l’armonia naturale:

 

 

 

Come abbiamo visto, TUTTI i gradi sono ora PERFETTAMENTE intonati secondo le armoniche.

 

Ma facciamo ora un piccolo esperimento: proviamo a raggiungere il DO₈ partendo dal DO₁ attraverso salti di diversa ampiezza (intervalli), per primo proviamo il salto di quinta, dopodiché quello d’ottava e vediamo che succede. Per altro, il salto di quinta è usato da Pitagora per trovare i suoni sul monocordo; il nostro esperimento in realtà è il suo.

 

Salto di quinta

·       sappiamo che la terza armonica (3f) sommata alla fondamentale (f) forma un intervallo di ottava più una quinta giusta; per averla sulla stessa ottava basterà dividere per 2 la frequenza, ottenendo così il rapporto di 3/2 per l’intervallo di quinta [14] .

Quindi:         3/2 dalla fondamentale (DO) per trovare la prima quinta (SOL)

                     (3/2)² dalla fondamentale per trovare la seconda quinta (RE) [3/2 * 3/2]

                     (3/2)³ dalla fondamentale per trovare la terza quinta (LA) [3/2 * 3/2 * 3/2]

ecc…

                     fino ad arrivare al SI#, cioè il DO

 

 

Per trovare il DO₈ dobbiamo moltiplicare la frequenza del DO₁ per (3/2)¹² quindi:

 

 

 

Salto d’ottava

·       Stesso procedimento, cambia il rapporto, che ora è 2:1 e ovviamente, essendo i salti più ampi ce ne saranno di meno:

 

 

 

Matematicamente possiamo scrivere

2⁷ > (3/2)¹²

128,000 > 129,746

 

In effetti, il 2⁷ ottenuto sovrapponendo le ottave, è inferiore al (3/2)¹² delle quinte.

 

Quale dei due DO sarà giusto?!

 

 

Non esiste giusto o sbagliato, vanno accettati per come sono. Sappiamo (e se non lo sappiamo viene detto ora) che il rapporto di quinta equivale a 702 cent, mentre l’ottava ne copre 1.200. Da DO₁ a DO₈ sono 7 ottave, e quindi 1.200 * 7 = 8.400 cent. Queste sette ottave però le abbiamo raggiunte attraverso 12 salti di quinta (che ricordiamo occupa 702 cent) e quindi: 12 * 702 = 8.424 cent. Questo eccesso viene chiamato comma pitagorico, ed è presente in tutti i temperamenti con quinta naturale (ovvero con un rapporto di 3/2). Abbiamo trovato la spirale delle quinte! Sarà compito del temperamento equabile chiuderlo.

 

 

 

I.7.3                    Temperamento equabile (scala ben temperata)

Il temperamento equabile nasce [15] per chiudere la spirale delle quinte permettendo finalmente ardite modulazioni mantenendo intatto il solo intervallo di ottava; in poche parole, vengono “limati” tutti gli intervalli al fine di renderli equabili, risultando quindi un compromesso dove l’esigenza pratica supera quella estetica, mirando però ad un più completo utilizzo del materiale sonoro.

 

 

 I 12 semitoni occupano tutti 100 cent, insieme compongono l’ottava (1.200). Il problema del comma pitagorico ora non c’è più, perché 700 * 12 = 8.400. Si è dovuto fare una scelta però: si è dovuto rinunciare alla consonanza di terza (si parla di uno scarto di 14-15 cent, non tantissimo ma abbastanza per non renderla perfetta), guadagnando però una maggior libertà compositiva, tuttavia gli intervalli di quarta e quinta rimangono pressoché inalterati (per entrambi ci sono circa 2 cent di scarto).

Risulta che ogni tonalità suona allo stesso modo [16] , perché la distanza tra i gradi sarà sempre la stessa. Per affermare l’universalità di questo temperamento J. S. Bach scriverà il celebre Clavicembalo ben temperato toccando tutte le tonalità della scala cromatica ben temperata.

Confrontando infine il temperamento naturale a quello equabile, ci accorgiamo che gli intervalli meno sacrificati coincidono con quelli di notevole importanza per una corretta armonia, ovvero quarta, quinta ed ottava.

 

 

I.8                             Analisi dell’Ottava                             .

 

 

Analizziamoci ora l’ottava, e mettiamo in ordine crescente tutti gli intervalli che abbiamo trovato: