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Insiemi equipotenti

 

Due insiemi si dicono equipotenti se è possibile determinare almeno una funzione biunivoca fra di loro, cioè se è possibile associare ogni elemento del primo insieme  con uno ed un sol elemento del secondo e viceversa.

 

L’equipotenza, come operazione di confronto fra due insiemi, gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

 

Utilizzando il concetto di equipotenza possiamo dare le seguenti definizioni:

Insieme infinito: insieme che è equipotente con una suo sottoinsieme proprio.

Insieme finito: se, qualsiasi sottoinsieme proprio si consideri, esso non è equipotente con l’insieme considerato.

 

Introducendo il concetto di numero naturale mediante l’uso degli insiemi equipotenti ( vai ) possiamo definire come potenza di un insieme A ( n(A) ): il numero di elementi di un insieme finito come il numero naturale associato agli insiemi equipotenti a quello considerato. 

 

Esempio di insieme finito: A = { 1 , 2, 3, 4, 5 }

Si può vedere che qualsiasi sia il sottoinsieme proprio considerato, questi non sarà equipotente all’insieme.

Infatti consideriamo il caso del sottoinsieme S = { 1, 3, 4, 5 }: non potremo mai avere una funzione biunivoca fra A e S poiché un elemento di A rimarrebbe sempre non associato ad alcun elemento di B. L’insieme A è quindi finito e la sua potenza è 5.

 

Esempio di insieme infinito: l’insieme dei numeri naturali ( N ).

In tal caso consideriamo la seguente funzione fra l’insieme dei numeri naturali e l’insieme formato dai quadrati perfetti dei numeri naturali:

N = { 0, 1, 2, 3,  4,   5,   6, …..}

Q = { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ….}

Come si vede si può associare ogni elemento del primo insieme con ogni elemento del secondo ( ) e viceversa ( ) pertanto i due insiemi sono equipotenti. Tuttavia si vede come l’insieme Q sia incluso strettamente in A ( ogni elemento di Q appartiene anche ad A e Q è diverso da A). Si può concludere che l’insieme N è equipotente ad un suo sottoinsieme Q. N e Q sono perciò insiemi ifiniti.