L’insieme dei numeri naturali come insieme quoziente.

Consideriamo l’insieme di tutti i possibili insiemi.

In tale insieme consideriamo la relazione XRY se X e Y sono insiemi equipotenti.

Tale relazione gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva; pertanto è una relazione di equivalenza.

Possiamo perciò determinare le classi di insiemi fra loro equipotenti raggruppando tutti gli insiemi con singoli elementi, con coppie di elementi e così via.

Associamo ad ogni classe un attributo sotto forma di un simbolo diverso : 1 per la classe degli insiemi con singoli elementi, 2 per la classe con coppie di elementi e così via. Associamo poi il simbolo 0 all’insieme vuoto che costituisce, da solo, una classe dell’insieme quoziente.

L’insieme di tutti i simboli associati ad ogni classe dell’insieme quoziente lo chiamiamo insieme dei numeri naturali.

Insieme di tutti i possibili insiemi

Schematicamente riassumiamo quanto detto: