IL PARADOSSO DI..
ACHILLE E LA TARTARUGA
Achille piè veloce sfida alla
corsa una lenta tartaruga, dicendole:
- Scommettiamo che riesco a batterti nella corsa anche se ti dò dieci metri
di vantaggio ?
la tartaruga risponde:
- Sai, io sono molto lenta, è il mio stile di vita, ma se mi dai dieci metri
di vantaggio, non puoi battermi!
- Sì che posso, io sono il doppio più veloce di te.
- Anche se sei il doppio più veloce non potrai mai raggiungermi. Vedi,
mentre tu percorri i dieci metri che io ho di vantaggio io mi sposto in
avanti di cinque. Tu dovrai poi percorrere questi cinque metri, ma io mi
sarò spostata in avanti di altri due metri e mezzo che tu dovrai recuperare.
Ma mentre tu cercherai di raggiungermi facendo questi due metri e mezzo io
mi sarò spostata di un altro metro e venticinque e così via fino
all'infinito, così tu non potrai mai raggiungermi.
Così dicendo la tartaruga tracciò sulla terra un diagramma che spiegava la
situazione. Achille osservò a lungo il diagramma, ripetendo mentalmente più
volte il percorso della gara, non riuscendo a capacitarsi di come fosse
possibile che egli non riuscisse mai a raggiungere il più lento animale.
D'altronde Achille poteva, ragionando in altro modo, sostenere di poter
vincere la gara. Infatti quando Achille avesse percorso, diciamo, trenta
metri, la Tartaruga ne avrebbe percorsi solo quindici; detratti i dieci
metri di vantaggio iniziali, Achille si sarebbe ancora trovato in vantaggio
di cinque metri. Il paradosso appassionò molto gli antichi, che non
conoscevano la teoria delle serie e trovavano inspiegabile il ragionamento.
Proviamo anche noi a riflettere su quel diagramma...
Quando Achille si trova in Ao
la tartaruga è in To. Achille corre per raggiungerla ed arriva in A1. La
tartaruga nel frattempo si è spostata in T1, avendo percorso metà della
distanza di Achille, ma restando sempre in vantaggio. Il processo si ripete,
apparentemente fino all'infinito e sembra proprio che Achille non raggiunga
mai la tartaruga. Svolgiamo però il calcolo delle distanze, cosi come dei
tempi, supponendo che la velocità di Achille sia v =1 m/s e ricordando che
la distanza AoA1 è di dieci metri. Achille percorre una distanza pari a Da =
10+5+2.5+... metri, in un tempo t = 10+5+2.5+... secondi. La tartaruga
percorre una distanza Dt = 5+2.5+1.25+... metri in un tempo uguale. Si vede
subito che si tratta di tre serie geometriche convergenti, p.es. Da =
10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 metri. Dt è la metà di tale
valore mentre il tempo impiegato è t = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) =
10(2) = 20 secondi. Dunque dopo venti secondi, dopo aver percorso venti
metri in tutto, Achille raggiunge la tartaruga e un attimo dopo la supera
definitivamente. La vittoria dell'uno o dell'altra dipende da dove viene
posto il traguardo. L'errore nel ragionamento è quello di ritenere che una
somma di infiniti termini debba dare sempre un risultato infinito. Alla luce
delle moderne conoscenze matematiche la soluzione è addirittura banale e si
riduce ad un semplicissimo esercizio di cinematica.