Contemporaneità un relatività
Quello di contemporaneità è un concetto ovvio; gli eventi simultanei sono caratterizzati dalla stessa coordinata temporale. Vediamo cosa succede di due eventi simultanei quando si cambia sistema di riferimento. Prendiamo in considerazione la situazione descritta in La contrazione dello spazio, dove l'amico sta viaggiando in treno (egli ama viaggiare) e tu stai presso un passaggio a livello (a te piace guardare i treni che passano). Riguardo al suo sistema di riferimento, se fissiamo l'origine del tempo nel momento in cui il fotone lascia la lampada, tale evento è caratterizzato da t0 = 0. Al tempo t1 = L / c il fotone raggiunge lo specchio che sta di fronte all'amico. Al tempo t2 = 2 · L / c il fotone è di ritorno e colpisce la lampada. Sia E3 l'evento sulla lampada contemporaneo a E1. Nel sistema di riferimento dell'amico esso è caratterizzato da t3 = t1 = L / c.
Cambiamo adesso sistema di riferimento. Ci portiamo sul tuo e determiniamo i tempi che corrispondono a E1 e E3. Se prendiamo come origine degli assi il momento in cui il fotone lascia la lampada, allora l'evento associato al fotone che raggiunge lo specchio è caratterizzato da
(4.1): t1' = tf' = ( L' / c ) / ( 1 – v / c ),
secondo la spiegazione data in La contrazione dello spazio. Come facciamo a ricavare il tempo che corrisponde a E3? Poiché questo evento si trova in mezzo tra E0 ed E2, ed essendo t0 = 0, non dobbiamo far altro che calcolare t2' e dividerlo per due. Ora t2' è la somma dei tempi necessari al fotone per andare e tornare, cioè, t2' = tf' + tb'. Quindi, tenendo conto dell'espressione tb' = L' / ( c – v ) ricavata in La contrazione dello spazio, otteniamo
(4.2): t3' = ( tf' + tb' ) / 2 = ( L' / c ) / ( 1 – v2 / c2 ).
Confrontando (4.1) e (4.2) si può vedere che per ogni v maggiore di zero e minore di c (0 < v < c, o equivalentemente, 0 < v / c < 1), il fattore 1 / ( 1 – v2 / c2 ) è minore di 1 / ( 1 – v / c ). Lo si può verificare facilmente osservando che
1 / ( 1 – v2 / c2 ) = [ 1 / ( 1 – v / c ) + 1 / ( 1 + v / c ) ] / 2
< 1 / ( 1 – v / c ) = [ 1 / ( 1 – v / c ) + 1 / ( 1 – v / c ) ] / 2.
L'unica differenza tra le due espressioni è quella sottolineata. Poiché
1 + v / c > 1 – v / c,
di conseguenza
1 / ( 1 + v / c ) < 1 / ( 1 – v / c ),
e
1 / ( 1 – v2 / c2 ) < 1 / ( 1 – v / c ).
Dal confronto di (4.1) e (4.2) si comprende che nel tuo riferimento E3 è sempre in ritardo rispetto a E1. Ciò che è simultaneo nel riferimento dell'amico non è contemporaneo nel tuo. Il grafico che segue mostra le posizioni dei vari eventi secondo il tuo punto di vista
Nel tuo sistema di riferimento gli eventi che sono contemporanei in treno appaiono disporsi su una linea obliqua. Dal grafico vediamo un'altra ragione per cui gli intervalli spaziali sono contratti. Essa risiede nel fatto che, sebbene la lunghezza del segmento E1 – E3 sia aumentata a motivo del moto, nel tuo riferimento esso è ruotato verso il futuro. Nota anche che, essendo la misura eseguita in un tempo specifico, la lunghezza che appare nel tuo sistema di riferimento non è la proiezione di E1 - E3 ortogonale all'asse x (cioè la posizione che lo specchio raggiunge più tardi), ma piuttosto è la proiezione lungo la linea di moto. Più il segmento E1 - E3 ruota e più corta è la parte dell'asse spaziale che è individuato dalle linee di moto. Se il treno dovesse muoversi (ipoteticamente) alla velocità della luce, allora il segmento L si disporrebbe parallelamente al raggio di luce e la lunghezza della sua proiezione sull'asse spaziale si ridurrebbe a zero. Tuttavia le particelle con massa diversa da zero non possono mai raggiungere la velocità della luce.
Contemporaneity in relativity
Contemporaneity is an obvious concept. Simultaneous events are characterized by the same value of the time coordinate. Let's see what happens of two events, simultaneous in one coordinate system, when we pass to another system of reference. We take into account the situation described in The space contraction, where your friend is traveling on a train (he likes traveling), and you're standing near a train crossing (you like watching trains passing by). Regarding his frame of reference, if we fix the time origin at the moment when a photon leaves the lamp your friend is holding, this event is characterized by t0 = 0. At t1 = L / c the photon reaches the mirror in front of him. At t2 = 2 · L / c the photon is back and hits the lamp. Let's call E3 the event on the lamp contemporaneous to E1. In your friend's reference it's characterized by t3 = t1 = L / c.
We now change system of reference. We move in yours and determine the times that correspond to E1 and E3. If we take as time origin the moment in which the photon leaves the lamp, then the event when the photon reaches the mirror is characterized by
(4.1): t1' = tf' = ( L' / c ) / ( 1 – v / c ),
according to the explanation given in The space contraction. How do we get the time that corresponds to E3? Since this event is in the middle between E0 and E2, and t0 = 0, all we have to do is calculate t2' and divide it by two. Now t2' is the sum of the times needed to go forward and back, that is t2' = tf' + tb'. Hence, by taking into account the expression tb' = L' / ( c – v ) we got in The space contraction, we obtain
(4.2): t3' = ( tf' + tb' ) / 2 = ( L' / c ) / ( 1 – v2 / c2 ).
By comparing (4.1) and (4.2), you can see that for any v larger than zero and smaller than c (0 < v < c, or equivalently, 0 < v / c < 1), the factor 1 / ( 1 – v2 / c2 ) is smaller than 1 / ( 1 – v / c ). The verification is simple by noting that
1 / ( 1 – v2 / c2 ) = [ 1 / ( 1 – v / c ) + 1 / ( 1 + v / c ) ] / 2
< 1 / ( 1 – v / c ) = [ 1 / ( 1 – v / c ) + 1 / ( 1 – v / c ) ] / 2.
Only the underlined parts are different. Since
1 + v / c > 1 – v / c,
consequently
1 / ( 1 – v2 / c2 ) < 1 / ( 1 – v / c ).
and
1 / ( 1 – v2 / c2 ) < 1 / ( 1 – v / c ).
By comparing (4.1) and (4.2), this result shows that in your reference E3 is always retarded with respect to E1. What is simultaneous in your friend's reference is not contemporaneous in yours. The following graph shows the positions of the various events as they appear in your reference.
In your system of reference the events that in the train are contemporaneous appear lying on an oblique line. From the graph we also see another reason why space intervals get contracted. It lies in the fact that, although the length of the segment E1 – E3 is increased because of the motion, in your frame it's rotated toward the future. Note also that, since the measure is made at a specific time, the length that appears in your system of reference isn't the projection of E1 – E3 orthogonal to the x axis (that position is reached later), but rather its projection along the line of motion. The more the segment E1 – E3 rotates and the shorter is the part of the spatial axis that is crossed. Had the train to move (hypothetically) at the speed of light, the segment L would point along the light ray and the length of its projection on the spatial axis would reduce to zero. However, particles with non-zero mass can never reach the speed of light.