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La contrazione dello spazio Consideriamo una situazione un po' più complicata. Ora l'amico appende uno specchio sulla parete di fronte e ricomincia a giocare con i fotoni. Essi vanno dalla lampada dell'amico allo specchio e tornano indietro. Nello stesso tempo il treno continua a muoversi nella direzione puntata dalla lampada. Se la distanza tra la lampada e lo specchio è L, il tempo che un fotone impiega a percorrere tale distanza è tf = L / c, e quello che impiega per tornare indietro è ugualmente tb = L / c. Il tempo totale tra partenza e ritorno alla lampada è (3.1): t = tf + tb = 2 · L / c. Dal tuo punto di vista, però, nel mentre che il fotone viaggia dalla lampada allo specchio anche il treno si muove nella stessa direzione. Perciò, quando il fotone giunge al punto dove stava lo specchio inizialmente, esso si è spostato un poco in avanti e il fotone deve continuare a muoversi. Per quanto tempo? Se tf' è il tempo necessario per andare dalla lampada allo specchio, essendo che in quel tempo lo specchio avanza di v · tf', la distanza totale che il fotone deve percorrere è Lf' = L' + v · tf'. Poniamo L' invece di L perché è da aspettarsi che il suo valore cambi. Espressa mediante la velocità della luce, la distanza che il fotone deve percorrere è c · tf'. Uguagliando le due espressioni della distanza, ( L' + v · tf' = c · tf' ) e risolvendo rispetto a tf', otteniamo tf' = L' / ( c – v ) = ( L' / c ) / ( 1 – v / c ). Come viene riflesso, il fotone prende il cammino del ritorno e percorre la distanza c · tb'. D'altra parte, per il fatto che il treno continua a muoversi, la distanza che il fotone deve percorrere è L' – v · tb'. Come nel caso precedente, uguagliamo queste due distanze e risolviamo l'equazione rispetto a tb'. Il risultato è tb' = ( L' / c ) / ( 1 + v / c ). Un semplice calcolo mostra che il tempo totale necessario al fotone per andare e ritornare è (3.2): t' = tf' + tb' = ( 2 · L' / c ) / ( 1 – v2 / c2 ) . Ora dovremmo confrontare le formule (3.1) e (3.2), ma esse non usano né lo stesso tempo né lo stesso spazio. Come facciamo? Chiamiamo in aiuto la relazione tra il tempo dell'amico e il tuo (vedi La dilatazione del tempo): t' = t / √( 1 – v2 / c2 ). Introducendo l'espressione di t' nell'equazione (3.2) e semplificando otteniamo: (3.3): t = ( 2 · L' / c ) / √( 1 – v2 / c2 ). Ora possiamo confrontare le equazioni (3.1) e (3.3). Infine otteniamo: L' = L · √( 1 – v2 / c2 ). Da questa formula vediamo che, come la velocità del treno aumenta, il fattore con la radice quadrata decresce. Perciò, visto da te, le distanze nella direzione del moto del treno sono contratte, e se la velocità del treno ipotetico dovesse raggiungere la velocità della luce, tanto √( 1 – v2 / c2 ) che L' tenderebbero a zero. Si può comprendere la contrazione dello spazio in termini meno rigorosi nella seguente maniera. Come aumenta la velocità del treno, dal tuo punto di vista il fotone deve percorrere distanze sempre maggiori per raggiungere lo specchio e, se non fosse per la contrazione dello spazio, il tempo richiesto perché il fotone compia il viaggio di andata e ritorno sarebbe troppo lungo. Infatti, se mettiamo in (3.3) L al posto di L', per v > 0 l'espressione risultante per il tempo t non coincide con quella ottenuta dalla (3.1). Perciò, per ottenere il tempo corretto nel tuo riferimento gli intervalli spaziali nella direzione del moto del treno devono essere ridotti. |
The space contraction Let us consider a situation a little more complicated. Now your friend hangs the mirror to the wall in front of him and starts playing again with photons. They go from your friend's lamp to the mirror and back. At the same time the train keeps moving in the direction pointed by the lamp. If L is the distance between the lamp and the mirror, the time a photon takes to travel that distance is tf = L / c, and the one it takes to get back is tb = L / c. The total time between departure and arrival back to the lamp is (3.1): t = tf + tb = 2 · L / c. From your point of view, however, as the photon travels from the lamp to the mirror, the train also moves in the same direction. As the photon arrives at the point where initially the mirror was, the mirror has moved ahead a little bit, and the photon keeps on moving. For how long? If tf' is the time necessary for going from the lamp to the mirror, since during that time the mirror moves ahead by v · tf', the total distance the photon has to travel is Lf' = L' + v · tf'. We put L' instead of L because we expect it to be different from L. In terms of the speed of light, the distance the photon has to travel is c · tf'. By equating the two expressions for the distance ( L' + v · tf' = c · tf' ) and by solving with respect to tf', we get tf' = L' / ( c – v ) = ( L' / c ) / ( 1 – v / c ). Being reflected, the photon starts going back and travels the distance c · tb'. On the other hand, as the train keeps moving, the distance the photon has to travel is L' – v · tb'. Like before, we equate these two distances and solve with respect to tb'. The result is tb' = ( L' / c ) / ( 1 + v / c ). A simple calculation shows that the total time the photon needs for going forward and back is (3.2): t' = tf' + tb' = ( 2 · L' / c ) / ( 1 – v2 / c2 ). Now we should compare the formulas (3.1) and (3.2), but they have nothing in common. How do we do it? We call to the rescue the relationship between your friend's time and yours (see The time dilation): t' = t / √( 1 – v2 / c2 ). Substitution of this expression for t' into equation (3.2) and simplification gives: (3.3): t = ( 2 · L' / c ) / √( 1 – v2 / c2 ). Now we can compare equations (3.1) and (3.3). We finally get: L' = L · √( 1 – v2 / c2 ). From this formula we see that, as the train velocity increases the root factor decreases. Hence, seen from you the distances in the direction of motion of the train are contracted and, as the velocity of the hypothetical train approaches the speed of light, both √( 1 – v2 / c2 ) and L' tend to zero. One can understand the space contraction in less rigorous terms also in this way. As the velocity of the train increases, from your point of view the photon has to travel longer and longer distances to catch the mirror and, were it not for the space contraction, the time required for the photon to go forward and back would be too long. In fact, if we put in (3.3) L instead of L', when v > 0 the resulting expression for t does not match the one obtained in (3.1). So, in order to get the correct time, in your reference the space intervals in the direction of motion must be reduced. |