TABELLA integrali

= ( a² arcsen +  x) + k    

                  ( con la sostituzione x = asent)

= arcsen+ k

=  arctan + k

= ln | x + | + k                                             

 con la sostituzione  = t − x

= ln | tan| + k = ln | cosecx − cotanx| + k  

(con le formule parametriche)

= ln | tan ()| + k = ln | secx − tanx| + k                       

(con le formule parametriche)

= =

== a² ln  + x−    

da cui si ha:

2= ln  + x                           

cioè

 = ln + x  + k

Calcoliamo l’integrale di alcune particolari funzioni razionali fratte: 

I_n   =

Integrando per parti, poniamo  u = e  v¢ = 1   Þ  u¢ =  e   v = x

I_n  =  =   = ==   Þ

     Che ci permette di calcolare  I_n+1 una volta noto I_n.   

Essendo I₁ =  arctanx + c    dalla (*)si ha

  per n = 1 e per n = 2:

I₂ = 

I₃ =  =, ...

e così via…

Esercizio 1

 = 

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Per calcolare l’integrale di alcune funzioni irrazionali occorre fare delle opportune sostituzioni.

Sia da calcolare il seguente:

dove f è funzione razionale di x e di 

I CASO      a > 0    

Ponendo = t −

la funzione integranda diventa funzione razionale della variabile t.

Esempio 1:

Si pone = t − x Þ  2 + x² = t² − 2tx + x²  Þ x = Þ  dx =  ,  =

Sostituendo nell’integrale dato, si ottiene:

 =…=

Esempio 2:

= t − 2x Þ … x =  Þ  dx =

Alla fine si ottiene:

 =…=

II CASO      a < 0    

Se a < 0  Þ   D > 0  ( perché, se così non fosse, ax² + bx + c avrebbe, per qualsiasi valore di x, lo stesso segno di a , cioè negativo). Se  a e b sono gli zeri del trinomio, si ha:  ax² + bx + c = a (x −a)(x −b).

Ponendo:

la funzione integranda diventa funzione razionale della variabile t.

Esempio3:

In questo caso si ha  a = −2 , a = , b = 1,  perciò   = −2(x −)(x − 1)

Ponendo: = t(x −)  si ha:

−2(x −1) = t² (x −),   x =   dx =,=

E quindi: =…=

Es