Risposte e commenti

4.1. (1)  Se indichiamo con TO(t) la temperatura dell'oggetto dopo che sono trascorsi t minuti da quando è stato messo nella borsa e con TA la temperatura ambiente, possiamo descrivere il fenomeno con:

(2)  Se indichiamo con P(t) la pendenza del ponte dopo che sono trascorsi t secondi da quando è iniziato il suo sollevamento, possiamo descrivere il fenomeno con:

4.2. Ecco gli output che si succedono con una CT a 8 cifre se si parte da 2 o da 0.3. Esiti simili si ottengono con qualsiasi altro numero positivo. In tutti i casi l'output si stabilizza su 1, o, per problemi di arrotondamento della CT, su un numero che differisce di una o due unità sull'ultima cifra.
2   1.4142136   1.1892071   1.0905077   1.0442738   1.0218972   1.0108893   1.0054299   1.0027113   1.0013547   1.0006771   1.0003385   1.0001692   1.0000846   1.0000423   1.0000211   1.0000105   1.0000052   1.0000026   1.0000013   1.0000006   1.0000003   1.0000001   1.0000001 …
0.3   0.54772256   0.74008281   0.86028066   0.92751316   0.96307485   0.98136377   0.99063806   0.99530802   0.99765125   0.99882493   0.99941229   0.9997061   0.99985304   0.99992652   0.99996326   0.99998163   0.99999081   0.9999954   0.9999977   0.99999885   0.99999942   0.99999971   0.99999985   0.99999992   0.99999996   0.99999998   0.99999999   1   1 …
    Se indichiamo con x(n) la successione dei valori man mano visualizzati dalla CT, ossia la successione: x(0) = "numero battuto inizialmente",  x(1) = "numero ottenuto premendo 1 volta ",  x(2) = "numero ottenuto premendo 2 volte ", …
possiamo descrivere il fenomeno con:

Una descrizione più formale della successione può essere la seguente, dove k è il numero battuto inizialmente:
        x(0) = k  AND  x(n+1) =

4.3 F1: x 2^x     F2: x x³ – 1     F3: x 3 + 4/x + 1/x³
F4: x (3 + x) / (x – 4)     F5: x 2^–x

F1, F2 e F5 sono definite ovunque, ossia in (-, +). Quindi dovremo studiarne il comportamento quando l'input tende a + e a -. Il termine F3(x) (che contiene divisioni per x e per x³) non è definito per x=0, quindi dovremo studiarlo anche quando x 0- e quando x 0+. Analogamente dovremo studiare F4(x) (che contiene divisioni per x-4) anche quando x 4- e quando x 4+. Consideriamo le funzioni una per una.
F1)  2^x cresce al crescere di x.
Questo è evidente per gli x interi: le potenze di 2 sono tutti numeri positivi e per passare, ad es., da 2³ a 2⁴ moltiplico per 2 e, quindi, ottengo un numero più grande; in generale: 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ·2 > 2ⁿ. Ancora più in generale, se h è 0.1 o 0.01 o 0.001  …, 2^x+h = 2^x·2^h > 2^x in quanto 2^0.1 = 2^1/10 = "numero che elevato alla 10 fa 2" > 1 (se fosse più piccolo di 1 mopltiplicandolo ripetutamente per esso stesso si otterrebbe un numero che rimarrebbe più piccolo di 1), 2^0.01 = 2^1/100 = … > 1, ecc. Comunque si apportino aumenti a x 2^x cresce.
Inoltre posso trovare x tale che 2^x sia grande quanto voglio: se ad es. prendo 10⁹, dato che 2⁴ = 16 > 10, ho che 2³⁶ = (2⁴)⁹ > 10⁹. Quindi 2^x + per x +.
Per come abbiamo definito le potenze, 2^x > 0. E posso trovarne un valore vicino a 0 quanto voglio: se ad es. prendo 10^-9 ho che 2^-36 = (2⁴)^-9 < 10^-9 in quanto 1/16⁹ < 1/10⁹. Quindi 2^x 0 per x -.
Il grafico di x 2^x ha quindi un andamento come quello rappresentato sotto a sinistra.

F2)  x³ cresce al crescere di x e non ha limitazioni superiori (per ogni  x >1 ,  x³ è ad esso superiore);

quindi x³+ per x +. La parte di grafico a sinistra dell'asse y può essere ottenuta dall'altra parte per simmetria rispetto (ovvero mediante una rotazione di 180° attorno) all'origine; quindi x³ - per x -. 

x x³–1 ha grafico traslato in basso di 1 e uguali comportamenti agli estremi del dominio.

F3)  x 4/x rappresenta una relazione di proporzionalità inversa; il suo grafico è un'iperbole; tende a 0

per x +e per x -, tende a+ per x 0+, tende a - per x 0-. x 1/x³ ha un andamento simile. La funzione somma di esse avrà quindi un andamento analogo, e x 3 + 4/x + 1/x³ rispetto a questa avrà grafico traslato verso l'alto di 3: vedi figura.

F4)  (3+x)/(x-4) non è definito per x=4, quindi dobbiamo studiare il suo comportamento per x 4+ e x 4- oltre che per x +e x -. Potremmo ragionare direttamente su questo termine, ma è utile manipolarlo, in uno dei due seguenti modi:
• Eseguire la divisione tra i due polinomi x+3 e x-4: il quoziente è 1 e il resto è 7, per cui (3+x)/(x-4) equivale a 1+7/(x-4): il grafico è l'iperbole y =7/x traslata a destra di 4 e in alto di 1. F4(x) tende quindi a 1 per x e x -, a e a - per x che tende a 4 rispettivamente da destra e da sinistra.
• Dividere i fattori del rapporto per x, in modo da trasformare il termine (x+3)/(x-4) in (1+3/x)/(1-4/x) (tenendo presente che è equivalente al precedente solo per x0 e x4, dove sono entrambi definiti). Questa forma consente di osservare facilmente che per x e x - 3/x e 4/x tendono a 0 e quindi (1+3/x)/(1-4/x) tende a 1/1, ossia a 1. Per studiare il comportamento per x 4+ e x 4- questa trasformazione non ci è di aiuto: occorre ragionare sul termine di partenza o indifferentemente sul trasformato, osservare che avvicinandosi a 4 il primo termine del rapporto tende ad assumere un valore maggiore di 0 e che il secondo termine tende a 0 restando positivo o negativo a seconda che si arrivi a 4 da destra o da sinistra, concludendo che nel primo caso il limite è e nel secondo è -.

F5)  x 2^–x ha grafico simmetrico rispetto all'asse y a quello di x 2^x in quanto le due funzioni danno lo stesso output se si danno ad esse input opposti. Quindi, per quanto visto a proposito di F1, 2^–x 0 per x , 2^–x per x -.

4.4

Si può anche notare che ad ogni divisione di x per 10, ossia man mano che si divide per 10 la distanza dal valore a cui facciamo tendere x, la variazione tra un output e il successivo è man mano più piccola, ossia i valori tendono a stabilizzarsi (si può osservare che al primo passo la variazione è 0.02, poi 0.002, poi 0.0002, …). Possiamo assumere 0.693147 come arrotondamento a 6 cifre del limite per x che tende a 0+ di F e quindi come valore di G(0). Se non avessimo saputo che la funzione era "prolungabile" in 0 in modo da essere continua, avremmo dovuto studiare il limite anche per x che tende a 0-. Avremmo ottenuto una stabilizzazione sullo stesso valore (che avremmo potuto precisare meglio come compreso tra 0.6931471803 e 0.6931471808):

Con considerazioni teoriche meno elementari, una volta introdotta la funzione "logaritmo naturale" (ln o log), si può stabilire che il valore esatto del limite è ln(2) (= 0.693147180559945…).

4.5 In entrambi i casi (x sin(x) · x, x sin(x) · 1.1^x) le considerazioni svolte valgono sia che x sia espresso in gradi sia che sia espresso i radianti. I grafici riprodotti sono riferiti (come si fa di solito nello studio astratto della matematica) all'uso dei radianti, ma l'andamento sarebbe lo stesso impiegando i gradi. Se considerassimo i gradi, comunque, a rigore dovremmo scrivere sin(x°) invece di sin(x).

4.6 (a) Basta che f(x) alterni come valori 3 e -3 affinché |f(x)| sia costantemente 3 e quindi sia tale il suo limite per x che tende a qualunque valore, senza che necessariamente esista il limite di f(x). Si pensi ad es. a f(x)=3 se x>2, f(x)=-3 altrimenti. O a f(x)=3 se x è razionale, f(x)=-3 altrimenti.

(b) N0: il grafico di F potrebbe avere un asintoto orizzontale. Si pensi a F(x)=-1/x, che cresce per x>0 ma non raggiunge mai il valore 0.