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ROTAZIONE

Definizione

Dato un piano ed un suo punto O, viene chiamata rotazione di centro O ed angolo a, quella trasformazione     

      del piano in sè che fa corrispondere ad ogni punto P del piano il punto P’, anch’esso del piano, in modo

      che risulti:

·      PÔP’ = a 

·      OP’ = OP

Considereremo l’angolo a positivo se la rotazione avviene in senso antiorario e negativo se avviene in senso orario.

 

   

Proprietà

  •  In una rotazione la distanza tra due punti è uguale alla distanza tra le rispettive immagini.

  • Se a è un angolo piatto la rotazione è una simmetria centrale, mentre se a è un angolo nullo la rotazione coincide con l’identità.

  • Il prodotto di due simmetrie assiali, i cui assi formino un angolo di ampiezza a, è una rotazione che ha ampiezza 2a e centro nel punto d’incontro degli assi.

  • Il prodotto di due rotazioni aventi lo stesso centro e ampiezze a e b è una rotazione con lo stesso centro e ampiezza a+b.

 

Prova a ... verificare tali proprietà con l'aiuto di Cabri

 

Esempio

 

 

 

 

     

 

DESCRIVERE LA ROTAZIONE CON LE COORDINATE.

 

Per descrivere una rotazione dobbiamo definire il centro della rotazione e l’angolo di rotazione.

Le equazioni di una rotazione di 90° rispetto all'origine  sono:

 

                                                                x’ = - y

                                                  R90 :                   

                                                                y’ =  x

 

 

Le equazioni di una rotazione di 180° rispetto all’origine sono:

 

                                                                 x’ = - x

                                                R180 :                       

                                                                              y’ = - y

 

Le equazioni di una rotazione di 270° rispetto all’origine sono:

 

                                                                  x’ =  y

                                                 R270 :                      

                                                                  y’ = - x

 

Possiamo concludere dunque che la rotazione è un movimento rigido che avviene nel piano della figura e conserva l’orientamento della figura stessa: è quindi una isometria diretta.  

 

 Questo tipo di trasformazione ha un unico punto fisso che è il centro della rotazione e nessuna retta unita.

 

Riepilogo:

Per tutte le trasformazioni finora esaminate abbiamo visto che esistono punti del piano che vengono trasformati in se stessi, cioè rimangono fissi: li abbiamo chiamati punti fissi. Il numero di punti fissi  caratterizza ciascun tipo di trasformazione.

Come abbiamo osservato, questi punti risultano essere, nella simmetria assiale, tutti e soli i punti dell’asse di simmetria, nella rotazione il centro di rotazione, mentre la traslazione non possiede punti fissi.

Inoltre la traslazione e la rotazione risultano essere isometrie dirette, mentre la simmetria assiale è una isometria inversa.

 

ROTAZIONE DI POLIGONI.

 

usa il cabri

 

Incomincia col tracciare un segmento.

Prova ad immaginare cosa sarà l’immagine di un segmento.

Si dice che i quadrati hanno una simmetria rotazionale di ordine 4.

A(-5,0); B(0,0); C(0,-5); D(-5,-5).

Trova tre diverse rotazioni per le quali l’immagine del quadrato è un quadrato di vertici:

A’(5,5); B’(10,5); C(5,10); D’(10,10).

 

Osserva che ogni traccia ti disegna tre immagini contemporaneamente.

Trova la posizione nella quale ottieni una sola immagine (cioè il punto fisso o centro della rotazione).

Se ruoti la figura con questo punto come centro di rotazione, con un angolo di 120°, 240° o 360°, ottieni la stessa figura.

Si dice che la tua figura ha una simmetria rotazionale di ordine 3.

 

 

 

 

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