1.  I MODELLI

Il primo ad aver dato un modello concreto della geometria non euclidea iperbolica è stato, nel 1868, il matematico italiano Eugenio Beltrami (1835-1900), con il suo Saggio di interpretazione della geometria non euclidea.

In seguito, Felix Klein seguendo gli studi che ponevano in relazione la geometria proiettiva con la geometria euclidea e non euclidea, creò un altro modello di geometria iperbolica.

Infine abbiamo il modello di Henry Poincarè che si avvicina a quello di Klein.

IL CERCHIO DI KLEIN

Felix Klein (1849-1925) dimostrò non solo l'indipendenza del Quinto postulato dai precedenti, ma anche la non contraddittorietà delle geometrie non euclidee.

Si consideri nel piano una conica (ad esempio una circonferenza) G.

Chiamiamo punti, i punti interni alla circonferenza G, rette le corde di G private degli estremi, e piano, la parte di piano costituita dai punti interni a G.

Per completare il modello, Klein doveva definire un movimento che, come accade nella geometria "neutrale" lasci invariate le distanze dei punti e l'ampiezza degli angoli e quindi le figure piane. Egli considerò come movimento del suo piano le omografie che mutano punti interni a G in punti interni a G, per le quali è invariante il birapporto [1](ABCD) tra quattro punti allineati.

K. così definì la distanza di due punti A e B con il birapporto (ABMN), dove M e N sono i punti limite della retta AB (non appartenenti ad essa).

Affinché però fosse valida la proprietà additiva (AB+BC=AC comunque scelto C allineato con A e B) dato che per i birapporti si ha: (ABMN)(BCMN)=(ACMN), K. Definì la distanza proporzionale al logaritmo del birapporto, cioè AB=k log(ABMN). Così: AB+BC = klog(ABMN)+klog(BCMN) = klog[(ABMN)(BCMN)] = klog(ACMN) = AC.

Per completare l'analogia tra la geometria del piano ordinario euclideo e quella nel piano di Klein, questi trasferì alle sue rette le relazioni di ordine sulla retta.

Riassumiamo in una tabella le "corrispondenze":

Ebbene, in una geometria siffatta, tutti i postulati a₁ sui quali si fonda la geometria iperbolica piana S(a₁), cioè i quattro postulati della geometria "neutrale" o "assoluta" più quello di Lobacevskij, sono enunciati veri, pertanto G rappresenta un modello del piano non-euclideo di tipo iperbolico.

Osservando la figura e confrontandola con la figura posta da Lobacevskij per indicare la sua definizione di parallele, si può notare che le rette parallele alla retta AB uscenti da C sono le due rette MM' e NN', che non incontrano la retta AB perché i punti M e N non sono punti propri del piano in quanto appartenenti alla conica G, questi possono intendersi come punti impropri, o direzioni del piano.

La conclusione che se ne trae è che il sistema ipotetico-deduttivo S(a₁) è ricondotto all'interpretazione di proprietà della circonferenza che costituiscono un capitolo della geometria euclidea S(a) e pertanto dalla validità logica di questa segue quella di S(a₁).

Inoltre poiché in questo modello valgono i quattro postulati della geometria "assoluta" ma non il quinto , vuol dire che quest'ultimo è indipendente dagli altri, infatti se esso fosse dimostrabile mediante gli altri quattro, sarebbe vero per qualunque interpretazione per la quale gli altri sono veri.

Concludiamo, osservando un'altra applicazione del modello di Klein.

Legendre, in uno dei tanti tentativi di dimostrare il quinto postulato, aveva dimostrato che per un punto interno di un angolo si può sempre condurre almeno una retta secante entrambi i lati dell'angolo.

Ebbene, come si può vedere dalla figura qui sotto, questa proprietà non è valida nella geometria iperbolica; infatti, dato l'angolo ÐBAC e preso un punto D del segmento circolare di base BC, nessuna retta per esso seca entrambi i lati.

IL MODELLO DI BELTRAMI

Si consideri una superficie, detta pseudo-sfera, a curvatura costante negativa. Tale superficie è ottenuta facendo ruotare una curva, detta trattrice, attorno al proprio asintoto[2].

Analogamente a come abbiamo fatto per il modello di Klein consideriamo la seguente tabella di "corrispondenza":

Anche in questo modello si possono dimostrare tutti i teoremi della geometria euclidea che non dipendono dal quinto postulato.

In particolare, in questo modello, si può dimostrare che la somma degli angoli interni di un triangolo è inferiore a due retti.

MODELLO DI HENRI POINCARÈ

Analogamente al modello di F. Klein, Poincarè considera una circonferenza G che chiama orizzonte e all'interno di essa fa la seguente traduzione:

CERCHI ORTOGONALI

IL MODELLO DELLA SFERA

In maniera analoga si può ragionare costruendo un modello della geometria ellittica piana P(A ₂).

consideriamo una sfera F:

Si potrebbe riconoscere che su questo "piano" sono verificati tutti i postulati A ₂ della P(A ₂).

Notiamo che due "punti" della F individuano una "retta" e che due "rette" hanno sempre un "punto" in comune, quindi non esistono rette parallele.

Giungiamo dunque alla medesima conclusione: il modello che abbiamo costruito riconduce alla geometria euclidea P(A ), pertanto dalla validità di questa segue quella di P(A ₂).