SCHEDA N. 8
1. Esegui la seguente costruzione:
•
Costruisci una circonferenza di centro F1 e passante per un punto a piacere•
Prendi un punto esterno alla circonferenza F2.•
Scegli un punto della circonferenza. Sia N.•
Costruisci l'asse del segmento F2N.•
Traccia la retta F1N.•
Costruisci l'intersezione della retta F1N con l'asse del segmento F2N. Sia M.La figura ottenuta, se hai proceduto correttamente, è quella rappresentata.
Dimostra che :
|MF1 −MF2| = costanteA che cosa è uguale la costante indicata?
...............................................................................................................................
Costruisci, ora, il
luogo geometrico dei punti M al variare di N sulla circonferenza.Quale proprietà caratterizza tutti e soli i punti che appartengono a tale luogo?
......................................................................................................
Il luogo trovato ha il nome di
iperbole.2. Cancella l'iperbole che hai costruito.
Utilizzando Mostra/Nascondi, cancella la circonferenza e tutti i segmenti e le rette disegnati.
•
Lascia visibili solamente i punti F1, F2, N, M.•
Traccia la retta F1F2.•
Traccia l'asse del segmento F1F2.Costruisci nuovamente il luogo dei punti M , al variare di N sulla circonferenza, che ora è nascosta.
Considera le due rette perpendicolari tracciate come una coppia di assi cartesiani ortogonali XY.
Costruisci il simmetrico del punto M rispetto all'asse X. Sia M’.
Ripetendo la costruzione del luogo che cosa puoi osservare?
........................................................................................................
Costruisci il simmetrico del punto M rispetto all'asse Y. Sia M’’.
Costruendo nuovamente il luogo che cosa puoi osservare?
........................................................................................................
Costruisci il simmetrico del punto M rispetto al centro O. Sia M’’’.
Ripetendo ancora una volta la costruzione del luogo, che cosa puoi osservare?
..................................................................................................................
Conclusione:
L’iperbole disegnata è simmetrica rispetto a:
...........................................................................................................................
3)
L’iperbole tracciata è grafico di una funzione? Perché?...............................................................................................................................
Conclusione:
Tutte le iperboli sono ..........................…………………………………………….....…,
ma non tutte sono ...............…………………………..........
SCHEDA N. 9
1. Per ottenere il
grafico dell’ iperbole utilizza i comandi:•
Curve/ Circonferenza (di centro F1 e raggio a piacere).•
Punti/ Punto (F2 esterno alla circonferenza).•
Punti/ Punto su un oggetto ( N).•
Rette/ Retta ( F1 N).•
Rette/ Segmento ( F2 N).•
Costruisci/ Asse ( del segmento F2 N).•
Punti/ Intersezione di due oggetti ( asse di F2 N e retta F1 N); si ottiene M.•
Costruisci/ Luogo dei punti M al variare di N sulla circonferenza.Si ottiene il grafico di una
iperbole, come quello sotto:
2. Verifica che
la distanza |MF1 −MF2| = costante:•
Misura/ Distanza e lunghezza (applica ai segmenti MF2, NM, MF1)•
Misura/ Calcolatrice/ calcola |MF1 −MF2|•
Puntatore/ sposta le misure ottenute in una parte del piano non occupata dallafigura e scrivile come:
MF2 = ............ ; NM = ............... ; MF1 = ................ ; |MF1 −MF2| = ...........
•
Misura/ Tabella/ seleziona i valori da inserire nella tabella spostando il cursore sopra il numero che desideri inserire (Tabula questo valore)•
Visualizza/ Animazione/ Questa Tabella•
Sposta il cursore verso il punto N (appare il messaggio Questo punto) ed evidenzia la molla di animazione.•
Rilascia la molla. I valori vengono registrati automaticamente sulla tabella.SCHEDA N. 10
1. Ricorda quanto è stato descritto nella scheda 8.
L'iperbole è stata definita come il luogo dei punti del piano tali che la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.
Per costruire tale luogo geometrico è stata utilizzata una circonferenza di raggio r e avente come centro uno dei fuochi. Come secondo fuoco è stato scelto un punto qualsiasi del piano. E' possibile scegliere la posizione del secondo fuoco in modo da rispettare la seguente condizione:
F1F2
=
2. Costruisci l’iperbole avente per fuochi i punti F
1(
, 0) e F2(
, 0).
Ripeti la costruzione precedente dell'iperbole come luogo geometrico, considerando una circonferenza di raggio 4. Valgono ancora le relazioni di simmetria rispetto agli assi cartesiani?
.......................................................................................................................……
E rispetto all’origine? .........................................................................................
Considera la bisettrice del 1° e 3° quadrante. Che cosa si può osservare?
…………………………………………………………………………….
Considera la bisettrice del 2° e 4° quadrante. Che cosa si può osservare?
…………………………………………………………………………….
Qual è l’ampiezza dell'angolo formato tra loro dalle rette bisettrici dei quadranti?
L'iperbole considerata di dice
equilatera.Determina l’equazione dell’iperbole equilatera con Cabri II e anche per via analitica; confronta i risultati ottenuti.
3. Ruota l’iperbole ottenuta di 45° in senso orario.
Determina l’equazione della nuova iperbole ottenuta con Cabri II e verificane l’esattezza mediante gli usuali calcoli algebrici.
4. Considera l’iperbole xy = -2.
Quali sono i suoi asintoti? ................................................…......................……….
Quali sono le coordinate dei fuochi?........................................…............…………
5. Esistono assi o centro di simmetria?..................................………….................
Scrivi l’equazione degli assi di simmetria......................................….……………...
Scrivi le coordinate del centro di simmetria.......................................……………...
6. L’iperbole xy = -2 è una funzione? Perché?...............…...............………..........
Conclusione:
L'iperbole, i cui fuochi hanno distanza uguale a r√ 2, si dice iperbole equilatera.
Nel sistema di riferimento che ha per assi cartesiani ortogonali le bisettrici dei
quadranti è una.............................................................................................
Tutte le iperboli sono luoghi geometrici, ma solo in casi particolari le iperboli
sono anche funzioni.