q Intervalli

q Intervalli

Si chiamano “intervalli” particolari insiemi numerici (vedi schema seguente).

Gli intervalli possono essere: chiusi, aperti, semiaperti; possono essere limitati o illimitati.

Intervallo chiuso di estremi a e b:

Intervallo aperto di estremi a e b:

Int. di estr. a e b, chiuso a sin. e aperto a destra:

Int. di estr. a e b, aperto a sin. e chiuso a destra:

Intervallo chiuso illimitato superiormente:

Intervallo aperto illimitato superiormente:

Intervallo chiuso illimitato inferiormente:

Intervallo aperto illimitato inferiormente:

Anche l’intero insieme è un intervallo (illimitato sia inferiormente che superiormente)

Da quanto sopra emerge che l’aggettivo “aperto”, riferito ad un intervallo, significa “privato degli estremi”,

mentre “chiuso” significa “compresi gli estremi” (ci sono poi le situazioni intermedie degli intervalli “semiaperti”).

Vedremo più avanti come gli stessi aggettivi “aperto” e “chiuso” possano essere adoperati, con un significato che verrà precisato, in relazione a sottoinsiemi di R qualsiasi.

q Si dice “intorno” di un punto x₀, un qualsiasi intervallo aperto contenente x₀.

Quindi possiamo dire che un “intorno” di x₀ è un intervallo della forma , essendo due numeri strettamente positivi. La distanza viene detta “l’ampiezza” dell’intorno dato. Un intorno di x₀ viene di norma indicato con: , oppure

q Intorni “circolari” di un punto.

Si tratta di quegli intorni per i quali .

Quindi: si dice “intorno circolare” di x₀,

un intervallo aperto della forma

· Si parla di “intorno circolare di centro x₀ e raggio ”

· Si può utilizzare il simbolo

· L’ampiezza di tale intorno è

Quindi è

E si può scrivere (MOLTO importante!):

q Intorno di “meno infinito” ( ):

E’ un qualsiasi intervallo aperto del tipo :

Un intorno di “meno infinito”: l’insieme degli x < a

q Intorno di “più infinito” ( ):

è un qualsiasi intervallo aperto del tipo

Un intorno di “più infinito”: l’insieme degli x > b

q Intorno di “infinito” ( ):

è l’unione di un intorno di con un intorno di

dove ordinariamente interessa il caso a<b, ma potrebbe anche essere a = b (e allora l’intorno di coinciderebbe con tutto R privato di un solo punto) o a>b (l’intorno di coinciderebbe con l’intero insieme R)

Un intorno di infinito:

l’insieme degli x minori di a, VEL maggiori di b

q Intorno circolare di infinito: o anche

dove di norma k>0, ma potrebbe essere pure k=0 o k<0, nel quale ultimo caso l’intorno circolare di coinciderebbe con l’intero insieme

q Osservazione importante: l’intersezione di due intorni di c è ancora un intorno di c

(dove con c voglio qui indicare indifferentemente un’ascissa finita x_0, oppure , o , o )

q Intorni “unilaterali”: intorno sinistro, intorno destro di un punto.

· Si dice “intorno sinistro” di un punto x₀,

un qualsiasi intervallo

· Si dice “intorno destro” di un punto x₀,

un qualsiasi intervallo

Osservazione. Qualche testo preferisce formulare le definizioni nel modo seguente:

“intorno sinistro” di x₀ = ; “intorno destro” di x₀ = . Viene così escluso dall’intorno il punto x₀ stesso.

Ciò da una parte permette un risparmio di parole in alcuni enunciati, ma dall’altra è assai poco “naturale”, perché è paradossale tagliare fuori dall’intorno proprio il punto di cui ci si sta occupando.

Perciò noi adotteremo le definizioni da cui abbiamo preso le mosse, quelle in cui l’intervallo è chiuso dalla parte di x₀.

q Quando si vuole sottolineare che un intorno di un punto x₀ è “bilaterale”, si parla di “intorno completo”.

Questo aggettivo fa da rafforzativo per maggiore chiarezza, ma resta inteso che ogniqualvolta scriveremo semplicemente “intorno”, intenderemo sempre “intorno bilaterale ovvero completo”, salvo una eccezione: parlando di un estremo di un intervallo [a, b], si potrà scrivere semplicemente “intorno” ma sottintendere che tale intorno sia: soltanto destro, per a, e soltanto sinistro, per b.

q Noi in generale quando considereremo un intorno di x₀, lo prenderemo circolare.

D’altra parte, accade spessissimo che risulti indifferente pensare ad intorni “circolari” o “generici”.

Su questo fatto ritorneremo a riflettere, quando la circostanza si presenterà.

Punti di accumulazione di un insieme numerico

Dato un insieme , il punto x₀ (appartenente o non appartenente ad E) si dice “punto di accumulazione” per E se ogni intorno completo di x₀ contiene almeno un punto di E, distinto da x₀.

Esempio 1

Consideriamo l’intervallo aperto (a, b).

Evidentemente, qualsiasi punto x di (a, b)

è di accumulazione per (a, b);

ma anche i due estremi a, b, pur non appartenendo ad (a, b), sono punti di accumulazione per (a, b).

Esempio 2

Consideriamo l’insieme di cui nella figura qui a fianco sono rappresentati alcuni fra gli infiniti elementi.

Questo insieme F possiede un punto di accumulazione, non appartenente all’insieme stesso: si tratta del numero 0.

Infatti, ogni intorno di 0 contiene punti di F !!!

Dimostriamolo.

Fissiamo un intorno di 0 ossia un intervallo aperto del tipo

Ora, se noi prendiamo una frazione della forma 1/k

e diamo a k valori molto grandi, otteniamo che

la frazione si fa “piccola quanto noi desideriamo”,

per cui, comunque piccolo sia stato fissato ,

tale frazione riuscirà comunque a “intrufolarsi”

fra 0 e , “entrando” quindi nell’intorno considerato.

In effetti, se vogliamo che sia si abbia basta che scegliamo

Per ovvi motivi pratici di carattere grafico, abbiamo rappresentato in figura soltanto pochi fra gli infiniti elementi dell’insieme :

(la figura mostra poi anche il punto 0, non appartenente all’insieme F).

Ma con gli occhi della mente possiamo “vedere” gli elementi di F “accumularsi”, al crescere di k, in prossimità dello 0.

Osserviamo poi che 0 è l’unico punto di accumulazione per l’insieme F. Infatti, qualora noi prendiamo un altro punto c, diverso dallo 0,

· se c NON appartiene ad F, riusciremo sempre a determinare un intorno di c talmente piccolo da non contenere alcun punto di F;

· e se c appartiene ad F, riusciremo sempre a determinare un intorno di tale punto, talmente piccolo da non contenere altri punti di F se non, appunto, il centro dell’intorno.

Esempio 3. - L’insieme Q dei numeri razionali ha come punti di accumulazione … tutti i numeri reali!

q Teorema:

Se x₀ è un punto di accumulazione dell’insieme E, allora ogni intorno di x₀ contiene infiniti punti di E.

Dimostrazione:

sia x₀ un punto di accumulazione di E. Fissiamo un intorno I(x₀).

Per definizione di punto di accumulazione, tale intorno conterrà almeno un punto di E, distinto da x₀; chiamiamo x₁ questo punto.

Consideriamo ora l’intorno di centro x₀ e raggio : essendo x₀ punto di accumulazione di E, tale intorno dovrà contenere un altro punto di E, distinto da x₀; indichiamolo con x₂. Osserviamo che x₂ apparterrà anche all’iniziale I(x₀).

Andiamo ora a considerare l’intorno di centro x₀ e raggio : in esso dovremo trovare un ulteriore punto x₃ di E (e x₃ apparterrà pure all’iniziale I(x₀) ; ecc. ecc.

Insomma, il procedimento può essere iterato in modo da trovare in I(x₀) tanti elementi di E quanti se ne desiderano.

In virtù di questo teorema, molti testi definiscono direttamente “punto di accumulazione di un insieme E”, un punto tale che in ogni suo intorno cadano infiniti punti di E.