ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO.

DISPOSIZIONI SEMPLICI

Definizione: Dati n oggetti distinti e sia 0<k<n, si chiamano disposizioni semplici di questi n oggetti presi k per volta (di classe k), tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli n oggetti in modo che ogni gruppo contenga k oggetti e che due gruppi qualsiasi differiscano per qualche oggetto o per l’ordine di essi.

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE: 

PERMUTAZIONI SEMPLICI

Definizione: Dati n oggetti distinti, si chiamano permutazioni semplici di questi n oggetti tutti i raggruppamenti che si possono formare ciascuno formato da tutti gli n oggetti.

COMBINAZIONI SEMPLICI

Definizione: Dati n oggetti distinti e sia 0< k <n si dicono combinazioni semplici di n oggetti di classe k, tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli n oggetti dati, in modo tale che ogni gruppo contenga k oggetti e i gruppi differiscano per almeno un oggetto.

Scheda sintetica

Principio base: il numero di scelte indipendenti si ottiene moltiplicando i numeri delle diverse scelte.

Esempi:

1.       In quanti modi diversi mi posso vestire, in campeggio, se ho 2 pantaloncini e 3 magliette? Risposta: in 2·3 = 6 modi diversi

2.       In quanti modi diversi posso viaggiare dalla città A alla città C, passando per la città B, se da A a B posso scegliere tra 3 diversi percorsi e da B a C posso scegliere tra 2 diversi percorsi? Risposta: in 3·2 = 6 modi diversi

3.      In quanti modi diversi posso cenare se nel menù ci sono 5 diversi primi piatti, 3 diversi secondi piatti e 4 diversi dessert? Risposta: in 5·3·4 = 60 modi diversi

Schema:

Nei problemi di calcolo combinatorio ci si devono porre, nell’ordine, le seguenti domande:

a)      quali e quanti sono gli elementi che formano l’insieme totale (cioè il numero n)?

b)      quali e quanti sono gli elementi che voglio selezionare (cioè il numero k dei posti)?

c)      sono possibili ripetizioni oppure no?

d)      è importante l’ordine oppure no?

Esempi:

1.       In quanti modi diversi gli studenti della VI possono uscire, uno alla volta, dall’aula?

2.       In quanti modi diversi posso scegliere chi deve essere interrogato in VI, se ne voglio interrogare uno solo?

3.       Voglio dare 3 medaglie matematiche agli studenti della VI, d’Oro, d’Argento e di Bronzo. In quanti modi posso fare questa scelta?

4.       Voglio interrogare 2 persone della VI. In quanti modi posso scegliere?

5.       Gioco una colonna della schedina del Totocalcio, scrivendo una sequenza di tredici 1, X, 2. In quanti modi posso decidere?

6.       Nei voli internazionali i voli delle compagnie si distinguono per un codice di due lettere tra 24 ( per esempio Alitalia=AZ mentre Zambia Airlines=ZA). Quante compagnie aeree si possono distinguere con questa codifica?

7.       Un elettricista deve montare l’insegna luminosa di un negozio. Deve collocare quattro lettere luminose ‘A’, ‘O’, ‘T’, ‘T’, ma non rammenta la sigla. Quante possibilità di sbagliare ha?

Risposte:

1. a) n=13; b) k=13 (perché tutti devono uscire); c)  Non sono possibili ripetizioni; d) Sì. Quindi si tratta di permutazioni di 13 elementi: P₁₃=13·12·11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1
2. a)  n=13; b) k=1 (perché uno solo sarà interrogato) c)  Non sono possibili ripetizioni.; d) No (perché riguarda una sola persona). Quindi  si tratta di disposizioni semplici di 13 elementi in un posto: D_13,1=13 (come è ovvio)
3. a) n=13; b) k=3 (perché voglio scegliere 3 persone); c)  Non sono possibili ripetizioni; d) Sì (perché è importante sapere quale medaglia si riceve). Quindi si tratta di disposizioni semplici di 13 elementi in 3 posti: D_13,3 =13·12·11
4. a)  n=13: b) k=2 (perché 2 persone saranno interrogate); c)  Non sono possibili ripetizioni; d) No (perché non importa in quale ordine le chiamo nell’interrogazione). Quindi si tratta di combinazioni di 13 elementi in 2 posti: C_13,2=
5. a)  n=3 (attenzione: soltanto 3 sono i simboli da manipolare, riordinare, non 13!); b)  k=13 (sono 13 infatti i posti disponibili); c) sono possibili ripetizioni; d) Sì, importa l’ordine (basta pensarci!). Quindi si tratta di disposizioni con ripetizione di 3 elementi in 13 posti: D’_3,13=3¹³
6. a)  n=24; b) k=2; c) Sono possibili ripetizioni; d) Sì, importa l’ordine. Quindi si tratta di disposizioni con ripetizione di 24 elementi in 2 posti: D’_24,2=24².
7. a) n=3; b) k=4; c) Due simboli (le ‘T’) sono interscambiabili. Quindi sono disposizioni con ripetizione di 3 elementi in 4 posti. D’_3,4=3⁴=12. Poiché 12 sono le possibilità e una sola è giusta, le possibilità di sbagliare sono 11.

Esercizi:

1)      Determinare in quanti modi diversi 8 persone possono occupare i 6 posti di uno scompartimento ferroviario di prima classe.

2)      Determinare quanti numeri di 3 cifre tra loro diversi, le cui cifre non si ripetano, si possono formare con i numeri 3, 5, 7.

3)      Determinare il numero delle quaterne che si possono formare con i 90 numeri del lotto.

4)      Determinare quanti sono i numeri di tre cifre tutte diverse tra loro.

5)      Sapendo che ad un torneo calcistico partecipano 20 squadre, determinare quanti sono gli incontri che verranno disputati fra primo e secondo girone.

6)      Considerando i 90 numeri del lotto calcolare quante sono le cinquine che in una data estrazione, realizzano un determinato ambo.

Risposte

1)      D_8,6  = 20160

2)      P₃ =6

3)      C_90,4 = 2 555 190

4)      D_10,3  - D_9,2 =648

5)      D_20,2 =380

6)      Consideriamo per esempio l’ambo 5, 62 e immaginiamo di togliere dall’urna questi due numeri, ne resteranno 88. Con questi 88 numeri si possono fare le seguenti terne:

 C_88,3  = 109 736 Se ora aggiungiamo a queste terne i due numeri 5 e 62 otteniamo tutte le cinquine che contengono l’ambo voluto.