Le Antinomie

La Teoria di Cantor fece esplodere nuove, clamorose antinomie. Se ne prendono qui in considerazione due: l'antinomia di Russel e l'antinomia di Cantor.

1. Antinomia di Russel:

Alcuni insiemi sono elementi di se stessi, altri non lo sono: l'insieme di tutti gli insiemi con più di 10 elementi è elemento di se stesso, mentre l'insieme di tutti i libri non è elemento di se stesso (non è un libro).

Consideriamo ora l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi. Se esso è un elemento di se stesso, allora non è un elemento di se stesso. Se non lo è, lo è.

Questa antinomia venne accolta con costernazione dal Frege in quanto dimostrava erronea l' "ipotesi fondamentale" su cui egli intendeva costruire l'aritmetica ( i suoi "Fondamenti dell'aritmetica" basati su tale ipotesi erano già in bozze quando Russel gli comunicò la sua scoperta). Tale "ipotesi fondamentale" può essere così formulata: ogni proprietà definisce l'insieme degli elementi che la verificano (cioè la sua estensione).

L'Antinomia si riferisce all'uso della parola "tutti" come possibilità di costruire, in generale, l'insieme "estensione" di una proprietà.

2. Antinomia di Cantor o della classe totale:

Si consideri la totalità degli insiemi, la "classe totale" A, che potremo chiamare l'insieme di tutti gli insiemi. Sia allora P(A) l'insieme delle parti di A. Per quanto precedentemente visto P(A) dovrebbe avere potenza maggiore di A, ma essendo A l'insieme di tutti gli insiemi, esso contiene P(A) come suo elemento, quindi P(A) dovrebbe avere cardinalità non maggiore di A.

Queste Antinomie determinarono una crisi dei fondamenti della Matematica che scosse il mondo matematico al''inizio del secolo e determinò la nascita di diverse concezioni circa la natura della Matematica:

• gli Intuizionisti (uno dei maggiori esponenti di questa corrente di pensiero fu Brouwer) accettarono come vero esclusivamente il Postulato ristretto della Matematica, cioè l'esistenza della successione infinita dei numeri naturali e tutto ciò che da essa conseguiva; rifiutarono il Principio del terzo escluso affermando che una proposizione può essere ne' vera ne' falsa, cioè indecidibile e, conseguentemente, negarono valore alle dimostrazioni per assurdo: affermare perciò che esiste un oggetto dotato di certe proprietà significa che c'è un metodo riconosciuto che permette di trovare o di costruire tale oggetto mediante un numero finito di passi
• i Formalisti (il fondatore di questa scuola di pensiero fu Hilbert) partirono dall'idea che esistenza in Matematica significa coerenza, cioè non contraddizione e poiché la coerenza delle teorie più complesse si riconduceva alla coerenza dell'aritmetica, concentrarono i loro sforzi nel tentativo di formalizzare completamente l'aritmetica. Alcuni svilupparono tale posizione fino alle estreme conseguenze, giungendo alla conclusione che la Matematica non è altro che un gioco privo di significato in cui si gioca concontrassegni privi di significato secondo delle regole formali concordate in partenza
• i Logicisti (un esponente di rilievo fu Russel) che tentarono di formalizzare la Matematica con la Logica: essi affermavano che i numeri interi sono sufficienti a descrivere i risultati dell'Analisi, ma essi sono stati a loro volta descritti nella Ligica Simbolica di Peano la quale forniva, a loro giudizio, un tessuto logico primario che sembrava avvalorare dall'esterno (al di fuori della Matematica) la Matematica stessa.

Nel 1964 Paul Cohen costruì un sistema formale che verifica tutti gli assiomi "ordinari" e nel quale però l'Assioma del Continuo di Cantor è rifiutata, dimostrando così che è possibile costruire tanto una "Matematica cantoriana" quanto una "Matematica non cantoriana" analogamente a quanto era avvenuto in Geometria un secolo prima con la nascita delle Geometrie non euclidee (che rifiutavano tra i loro assiomi il V Postulato di Euclide).

Nasce così il Metodo Assiomatico moderno che non è soltanto deduttivo (si assumono come verità primitive evidenti alcune proprietà fondamentali, chiamate "postulati" o "assiomi", dalle quali si deducono nuove proprietà), ma è ipotetico-deduttivo: gli assiomi non sono più verità primitive indimostrabili, ma semplici ipotesi relative ad enti del pensiero non definiti perciò, se si considerano enti concreti che verificano le proprietà espresse dagli assiomi, allora valgono anche le proprietà espresse dai teoremi dedotti da questi per via strettamente logica. Ad ogni interpretazione degli enti primitivi corrisponde un modello (concreto) della teoria assiomatica (di per se' astratta, formale).

Se l'assunzione del metodo assiomatico moderno comporta la perdita dell'unità: non esiste più la Matematica, ma esistono le Matematiche (come non c'è più la Geometria, ma le Geometrie), apre d'altro canto nuovi vastissimi campi di ricerca e quindi nuove prospettive di progresso sia del pensiero matematico che, conseguentemente, del pensiero scientifico e ed pensiero umano in generale.