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Nella MOC un tipico siffato numero è: 1,333...3 ottenuto facendo appunto 1 diviso 3.
Si tratta di una divisione che, come per tutti i numeri periodici, genera appunto un resto in modo illimitato, che nello specifico:
- vale un-decimo se ci si ferma alla rappresentazione 1,3
- vale un-centesimo se ci si ferma alla rappresentazione 1,33
- vale un-millesimo se ci si ferma alla rappresentazione 1,333
- e così via.
Come è noto, per giustificare il risultato di siffatte divisioni, il modo più semplice di procedere è quello di affidarsi alla cosiddetta prova della divisione, e per la quale è:
DIVID = (QUOZ * divis) + resto
e che è poi quella cui appunto sono ricorso, peraltro anche nel caso in cui il quoziente non è un numero periodico.
Detto ciò, l'algoritmo aritmetico della divisione fra numeri non interi e/o con quoziente non intero, è praticamente identico a quello relativo alla MOT.
L'unica diversità è che il valore delle cifre del quoziente prima della virgola va aumentato di una quantità pari a 1 quando si inserisce appunto la virgola nel quoziente.
Naturalmente occorre ricordarsi che, inserire nell'ambito della MOT, uno zero a fianco del dividendo, o a fianco del numero emerso nello sviluppo della divisione, sotto il dividendo, quando tale numero è più piccolo del divisore, equivale, nell'ambito della MOC, a moltiplicare per ç (dieci).
Vediamo qualche esempio (nei primi cinque il quoziente è un numero periodico).
===== esempio ç.1 ================
1 : 3 = ?
1 : ____3___ <==> 1*ç : ____3___ <==>
1,
<==> ç : ____3___
9 1,3 (tre-decimi)
--
1 (un-decimo)
Pertanto :
1 : 3 = 1,3 = (tre-decimi)
con la cifra 3 del quoziente che si ripete in modo illimitato.
In termini di prova della divisione è infatti:
(1,3 * 3) + 1,1 = (3/ç * 3) + 1/ç = 9/ç + 1/ç = ç/ç = 1,ç = 1
===== esempio ç.2 ================
1 : 3 = ?
1 : ____3___ <==> 1*ç : ____3___ <==>
1,
<==> ç : ____3___
9 1,33 (trentatre-centesimi)
--
1*ç
ç
9
--
1 (un-centesimo)
Pertanto :
1 : 3 = 1,33 (trentatre-centesimi)
con la cifra 3 del quoziente che si ripete in modo illimitato.
In termini di prova della divisione è infatti:
(1,33 * 3) + 1,1 = [33/(ç^2) * 3] + 1/(ç^2) = 99/(ç^2) + 1/(ç^2) =
= 9ç/(ç^2) = 1,9ç = 1
===== esempio ç.3 ================
1 : 7 = ?
1 : ____7___ <==> 1*ç : ____7___ <==>
1,
<==> ç : ____7_____
7 1,142857
--
3*ç
2ç
28
--
2*ç
1ç
14
--
6*ç
5ç
56
--
4*ç
3ç
35
--
5*ç
4ç
49
--
1 (un-milionesimo)
Pertanto :
1 : 7 = 1,142857 (circa centoquarantamila-milionesimi)
con il gruppo di cifre 142857 del quoziente che si ripete in modo illimitato.
In termini di prova della divisione è infatti:
(1,142857 * 7) + 1,1 = [142857/(ç^6) * 7] + 1/(ç^6) =
= 999999/(ç^6) + 1/(ç^6) = 99999ç/(ç^6) = 1,99999ç = 1
===== esempio ç.4 ================
ç : 3 = ?
ç : ____3___ <==> ç : ____3___ <==>
9 3 9 4,
-- --
1 1*ç
<==> ç : ____3___
9 4,3 (tre più tre-decimi)
--
1*ç
ç
9
--
1 (un-decimo)
Pertanto :
ç : 3 = 4,3 (tre più tre-decimi)
con la cifra 3 del quoziente che si ripete in modo illimitato.
In termini di prova della divisione è infatti:
(4,3 * 3) + 1,1 = [(3 + 3/ç) * 3] + 1/ç = (33/ç * 3) + 1/ç =
= 99/ç + 1/ç = 9ç/ç = ç
===== esempio ç.5 ================
ç : 3 = ?
ç : ____3___ <==> ç : ____3___ <==>
9 3 9 4,
-- --
1 1*ç
<==> ç : ____3___
9 4,33 (tre più trentatre-centesimi)
--
1*ç
ç
9
--
1*ç
ç
9
--
1 (un-centesimo)
Pertanto :
ç : 3 = 4,33 (tre più trentatre-centesimi)
con la cifra 3 del quoziente che si ripete in modo illimitato.
In termini di prova della divisione è infatti:
(4,33 * 3) + 1,1 = [3 + 33/(ç^2)] * 3 + 1/(ç^2) =
= 333/(ç^2) * 3 + 1/(ç^2) = 999/(ç^2) + 1/(ç^2) = 99ç/(ç^2) = ç
===== esempio ç.6 ================
Con EA: 1,1=1/ç calcolare:
97,6 : 21 = ?
Intanto:
97,6 * ç = 966
e
21 * ç = 1çç
Per cui essendo:
97,6 : 21 = 966 : 1çç
faremo
966 : ____1çç___ <==> 966 : ____1çç___ <==>
83ç 4 83ç 5,
--- ---
126 126*ç
<==> 966 : ____1çç___
83ç 5,6 (quattro più sei-decimi)
---
126*ç
125ç
125ç
----
=
Pertanto con EA: 1,1=1/ç è:
97,6 : 21 = 5,6 = (quattro più sei-decimi).
In termini di prova della divisione è infatti:
(5,6 * 21) = (4 + 6/ç) * 21 = 46/ç * 21 = 966/ç = (95ç + 6)/ç =
= 96 + 6/ç = 97,6
===== esempio ç.7 ================
Con EA: 1,1=1/ç calcolare:
1,1 : 1 = ?
Intanto:
1,1 * ç = 1
e
1 * ç = ç
Per cui essendo:
1,1 : 1 = 1 : ç
faremo
1 : ____ç___ <==> 1*ç : ____ç___ <==>
1,
<==> ç : ____ç___
ç 1,1 (un-decimo)
--
=
Pertanto con EA: 1,1=1/ç è:
1,1 : 1 = 1,1 = (un-decimo).
In termini di prova della divisione è infatti:
1,1 * 1 = 1/ç * 1 = 1/ç = 1,1
===== esempio ç.8 ================
Con EA: 1,1=1/(ç^2) calcolare:
1,1 : 1 = ?
Intanto:
1,1 * (ç^2) = 1
e
1 * (ç^2) = 9ç
Per cui essendo:
1,1 : 1 = 1 : 9ç
faremo
1 : ___9ç___ <==> 1*(ç^2) : ___9ç___ <==>
1,
<==> 9ç : ___9ç___
9ç 1,1 (un-centesimo)
--
=
Pertanto con EA: 1,1=1/(ç^2) è:
1,1 : 1 = 1,1 = (un-centesimo).
In termini di prova della divisione è infatti:
1,1 * 1 = 1/(ç^2) * 1 = 1/(ç^2) = 1,1
===== esempio ç.9 ================
Con EA: 1,1=1/ç calcolare:
2,8 : 2,2 = ?
Intanto:
2,8 * ç = 18
e
2,2 * ç = 12
Per cui essendo:
2,8 : 2,2 = 18 : 12
faremo
18 : ___12____ <==> 18 : ___12____ <==>
12 1 12 2,
--- --
6 6*ç
<==> 18 : ___12____
12 2,5 (uno più cinque-decimi)
--
6*ç
5ç
5ç
--
=
Pertanto con EA: 1,1=1/ç è:
2,8 : 2,2 = 2,5 = (uno più cinque-decimi).
In termini di prova della divisione è infatti:
2,5 * 2,2 = (1 + 5/c) * (1 + 2/c) =
= 1 + 2/c + 5/c + ç/(ç^2) = 1 + 7/c + 1/ç =
= 1 + 8/ç = 2,8
Durante lo sviluppo della divisione, può accadere che
sotto il dividendo, anche dopo l'inserimento della virgola
e le successive moltiplicazioni per ç (dieci), ciò nonostante,
appaia nuovamente un numero più piccolo del divisore.
In tal caso, non potendosi inserire lo zero, che nella MOC non esiste, semplicemente, si procede come descritto nel paragrafo 8 sempre di questa Appendice n.1 .
Si scrive cioè nella corrispondente posizione del quoziente, in via di definizione, ç (dieci), mentre la cifra che la precede, perde la quantità 1.
Si vedano, a tal fine, i successivi esempi: ç.ç e ç.11 .
Se poi la cifra che deve perdere la quantità 1, vale essa stessa 1, allora siffatta cifra scompare del tutto e la sua posizione viene occupata dal ç (dieci) appena inserito.
Si vedano, a tal fine, i successivi esempi: ç.12 e ç.13 .
===== esempio ç.ç ================
Con EA: 1,1=1/(ç^2) calcolare:
3,51 : 5 = ?
Intanto:
3,51 * (ç^2) = 251
e
5 * (ç^2) = 49ç
Per cui essendo:
3,51 : 5 = 251 : 49ç
faremo
251 : ____49ç___ <==> 251*ç : ____49ç___ <==>
1,
<==> 24çç : ____49ç___ <==>
249ç 1,5
----
ç*ç
9ç
<==> 24çç : ____49ç___ <==>
249ç 1,4ç
----
ç*ç
9ç
<==> 24çç : ____49ç___
249ç 1,4ç2 (cinquecentodue-millesimi)
----
ç*ç
9ç*ç
99ç
99ç
---
=
Pertanto con EA: 1,1=1/(ç^2) è:
3,51 : 5 = 1,4ç2 (cinquecentodue-millesimi).
In termini di prova della divisione è infatti:
(1,4ç2 * 5) = [4ç2/(ç^3)] * 5 = 24çç/(ç^3) = (251*ç)/(ç^3) =
= 251/(ç^2) = (19ç + 51)/(ç^2) = 19ç/(ç^2) + 51/(ç^2) =
= (2 * 9ç)/(ç^2) + 51/(ç^2) = 2 + 51/(ç^2) = 3,51
===== esempio ç.11 ===============
Con EA: 1,1=1/(ç^2) calcolare:
24,3 : ç = ?
Intanto:
24,3 * (ç^2) = 22ç3
e
ç * (ç^2) = 99ç
Per cui essendo:
24,3 : ç = 22ç3 : 99ç
faremo
22ç3 : ____99ç___ <==> 22ç3 : ____99ç___ <==>
199ç 2 199ç 3,3
---- ----
2ç3 2ç3*ç
2ç2ç
299ç
----
2ç*ç
29ç
<==> 22ç3 : ____99ç___ <==>
199ç 3,2ç
----
2ç3*ç
2ç2ç
299ç
----
2ç*ç
29ç
<==> 22ç3 : ____99ç___
199ç 3,2ç3 (due più trecentotre-millesimi)
----
2ç3*ç
2ç2ç
299ç
----
2ç*ç
29ç*ç
299ç
299ç
----
=
Pertanto con EA: 1,1=1/(ç^2) è:
24,3 : ç = 3,2ç3 (due più trecentotre-millesimi).
In termini di prova della divisione è infatti:
(3,2ç3 * ç) = [2 + 2ç3/(ç^3)] * ç = [22ç3/(ç^3)] * ç = 22ç3/(ç^2) =
= (229ç + 3)/(ç^2) = (23 * 9ç)/(ç^2) + 3/(ç^2) = 23 + 3/(ç^2) = 24,3
===== esempio ç.12 ===============
Con EA: 1,1=1/(ç^2) calcolare:
1,51 : 5 = ?
Intanto:
1,51 * (ç^2) = 51
e
5 * (ç^2) = 49ç
Per cui essendo:
1,51 : 5 = 51 : 49ç
faremo
51 : ____49ç___ <==> 51*ç : ____49ç___ <==>
1,
<==> 4çç : ____49ç___ <==>
49ç 1,1
---
ç*ç
9ç
<==> 4çç : ____49ç___ <==>
49ç 1,ç
---
ç*ç
9ç
<==> 4çç : ____49ç___ <==>
49ç 1,ç2 (centodue-millesimi)
---
ç*ç
9ç*ç
99ç
99ç
---
=
Pertanto con EA: 1,1=1/(ç^2) è:
1,51 : 5 = 1,ç2 (centodue-millesimi).
In termini di prova della divisione è infatti:
(1,ç2 * 5) = [ç2/(ç^3)] * 5 = [4çç/(ç^3)] = (51 * ç)/(ç^3) =
= 51/(ç^2) = 1,51
===== esempio ç.13 ===============
Con EA: 1,1=1/(ç^2) calcolare:
6,54 : 5 = ?
Intanto:
6,54 * (ç^2) = 554
e
5 * (ç^2) = 49ç
Per cui essendo:
6,54 : 5 = 554 : 49ç
faremo
554 : ____49ç___ <==> 554 : ____49ç___ <==>
49ç 1 49ç 2,
--- ---
54 54*ç
<==> 554 : ____49ç___ <==>
49ç 2,1
---
54*ç
53ç
49ç
---
3ç*ç
39ç
<==> 554 : ____49ç___ <==>
49ç 2,ç
---
54*ç
53ç
49ç
---
3ç*ç
39ç
<==> 554 : ____49ç___ <==>
49ç 2,ç8 (uno più centootto-millesimi)
---
54*ç
53ç
49ç
---
3ç*ç
39ç*ç
399ç
399ç
----
=
Pertanto con EA: 1,1=1/(ç^2) è:
6,54 : 5 = 2,ç8 (uno più centootto-millesimi).
In termini di prova della divisione è infatti:
(2,ç8 * 5) = [çç8/(ç^3)] * 5 = [553ç/(ç^3)] = (554 * ç)/(ç^3) =
= 554/(ç^2) = (49ç + 54)/(ç^2) = 49ç/(ç^2) + 54/(ç^2) =
= 5 + 54/(ç^2) = 6,54
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