Un po’ di ripasso…
Criteri di divisibilità
Dato un sistema posizionale per esempio quello decimale, i criteri di divisibilità aiutano a decidere, se un numero di qualunque numero di cifre è divisibile per un dato divisore oppure no, questi criteri sono nel caso decimale quello per il 2, 3,4,5,6,9,10,11, 25.Per il 2 basta verificare che il numero sia paro, per il 3 si devono sommare le cifre e vedere se il numero ottenuto e 3 o multipli di tre, per il 4 il numero deve avere come ultime due cifre 04, 08 e multipli di 4, per 5 deve finire per 5 o 0, per 6 debbono essere entrambi validi i criteri per il 3 e il 2, per il 9 si deve fare come per il 3 ma verificare che il risultato dia 9 o multipli, per il 10 deve finire per 0, per 11 bisogna sommare le cifre nei posti pari e quelle nei posti dispari fare la differenza se viene 0, 11 o multipli di 11, per il 25 il numero deve finire 25,50,75,00. Altri criteri si ottengono applicando più di uno di questi criteri come abbiamo visto per il 6.
La prova
del nove si basa sul criterio di divisibilità del nove, se noi prendiamo un
numero la somma delle
cifre ci dà il resto di un’ eventuale divisione per nove modulo 9, quindi 19
=10=1 bisogna ridurre cioè il resto fino ad un numero ad una cifra, questo
perché nel sistema decimale possono essere rappresentati con una cifra solo i resti di nove o di numeri ad esso inferiori, se stessimo
nel sistema esadecimale potremmo rappresentare i
resti di divisori fino a 15, e così via. Nella prova del nove della somma per
esempio si
verifica quale sia il resto del primo addendo e del secondo, etc si sommano i due resti e si verifica se la somma degli
addendi ha lo stesso resto. Tenendo conto del legame che si hanno con le altre
operazioni, si trovano facilmente le prove del nove legate
ad esse. Nella prova del nove si ha un solo problema se accidentalmente
scambiamo due cifre il resto del numero ottenuto è lo stesso. 19 e 91 hanno resto uno
quindi 19/3= 6 e resto 1
|
dividendo |
divisore |
|
19=1 |
3=3 |
|
Quotoxdiv +resto |
Prova del
9 |
|
6X3+1=18+1=0 +1=1 |
1 |
|
dividendo |
divisore |
|
91=1 |
3=3 |
|
Quotoxdiv +resto |
Prova del
9 |
|
6X3+1=18+1=0 +1=1 |
1 |
Diamo la regola del nove per le varie
operazioni nel caso della somma bisogna calcolare i resti di ogni
addendo sommare i vari resti ottenuti fino a ridurre il resto ad un numero di
una sola cifra che va da zero fino ad otto, resto nove diventa resto zero, poi
si calcola il resto della somma se il resto della somma è uguale al resto della
somma dei resti degli addendi allora la prova del nove è giusta, tipo 10 +7 =
17
Resto(10)+Resto
(7) = 1+7 = 8 Resto(17)
= 8 => 8=8. La prova del nove per la differenza si riconduce a quella della
somma 17 -7 = 10 cioè resto(10+7)= 8 = resto 17=8,
oppure Resto(17) – Resto(7) = 8-7= 1 Resto 10 =1 1=1 prova riuscita, però alle
volte può succedere che 10 -7 = 3 resto 10 =1 resto 7 =7 1-7 impossibile,
quindi è più sicuro, usare il primo metodo. Per la moltiplicazione che una
somma ripetuta vale restoPrimo
fattoreXrestoSecondofattore = resto Prodotto per la
divisione si inverte l’operazione come
abbiamo fatto per la moltiplicazione tenendo conto che se abbiamo un resto nella divisione tipo 7/3= 2 con
resto 1 dobbiamo aggiungere il resto della divisione al resto del quoto (Il
quoto e il risultato intero della divisione senza decimali altrimenti si
chiamerebbe quoziente). (Resto Quoto)XResto divisore +resto divisione = resto dividendo. Se
mettiamo in colonna le operazioni seguenti vediamo che
:
12 x 12 x
3 = 3 =
36 63
La seconda è evidentemente falsa eppure la
prova del nove funzionerebbe lo stesso infatti se il
resto di 12 è 3 quello di 3 è se stesso quelli di 36 è zero e lo stesso per 63,
quindi nel primo caso 3x3= 9 = 0 0 = 0 in tutti e due
i casi la prova del nove non fallisce ma non si può decidere in base ad essa,
quale sia la corretta, certo è impossibile fare un tale errore quando si fanno
calcoli in colonna così semplici, ma qualora avessimo un numero di fattori,
molto più numerosi o più grandi, o facessimo fare l’operazione ad un computer
questo, banale errore diverrebbe più probabile. Se la prova del nove venisse fatta da un
calcolatore, lo scambio di cifre potrebbe avvenire, scambiando le locazioni di
memoria delle varie cifre, una tale prova non può quindi essere usata nei
computer, se non con un algoritmo di correzione, per l’inversione delle cifre.
Esiste la
prova del 7?
Vediamo di
verificare, se esiste la prova del nove, anche in sistemi posizionali diversi
dal decimale. Un sistema posizionale è un qualsiasi sistema
che permette di scrivere un numero utilizzando il sistema dell’abaco in maniera
virtuale. Un abaco era l’antenato del pallottoliere era in argilla o legno e
aveva delle scanalature dove si mettevano delle palline per il calcolo quando una di queste era piena di un numero tot di
palline poniamo dieci, se ne metteva una nella scanalatura affianco di fatto il
sistema arabo o posizionale faceva altrettanto solo che usava la carta e dei
simboli per indicare il grado di riempimento, delle “scanalature” virtuali che
in questo modo potevano essere almeno potenzialmente infinite, il sistema
rendeva facili tutte le operazioni, e per questo uccise tutti i precedenti
sistemi che servivano solo a memorizzare i calcoli che venivano fatti con
l’abaco. Un sistema posizionale può essere di qualsiasi tipo i computer usano
quello binario visto che la loro logica e matematica non può
che basarsi che un sistemo binario con valori acceso-spento, vero-falso, 0-1 .
Possiamo però usare anche un sistema con otto cifre cioè
da zero a sette quindi 1238 = 1x82 + 2x81 + 3x80 = 6410+
1610+310 = 8310 i numeri in pedice dicono in
quale base stiamo scrivendo un numero. Per facilitare i calcoli successivi
scriviamo le tabelle della somma e della moltiplicazione in base l’equivalente
quindi delle tavole pitagoriche o nel caso del sistema binario delle tavole di verità:
|
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
|
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
|
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
5 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
6 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
7 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
10 |
12 |
14 |
16 |
20 |
|
3 |
0 |
3 |
6 |
11 |
14 |
17 |
22 |
25 |
30 |
|
4 |
0 |
4 |
10 |
14 |
20 |
24 |
30 |
34 |
40 |
|
5 |
0 |
5 |
12 |
17 |
24 |
31 |
36 |
43 |
50 |
|
6 |
0 |
6 |
14 |
22 |
30 |
36 |
44 |
52 |
60 |
|
7 |
0 |
7 |
16 |
25 |
34 |
43 |
52 |
61 |
70 |
|
10 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
100 |
Per
curiosità mettiamo le tavole binarie:
|
+ |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
10 |
|
x |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
Nelle
tavole di verità della somma in realtà 1+1=1 queste perché la somma in binario
rappresenta la logica dell’AND, dove uno sta per vero, quindi se a è vero e b è vero allora il risultato è vero.
Verifichiamo che la prova del 9 fallisce, se
invece della numerazione decimale si usa quella ottale,
infatti 12338 è divisibile per 9 e ha resto 0 nella numerazione
decimale, ma in quella ottale non è ovviamente
divisibile per 9, quest’ultimo nella
numerazione ottale si scrive 11, quindi 1233/11=112+1, infatti 12338=66710
in decimale, il quale in effetti non è divisibile per 9 e ha resto 1, ovviamente 1128=7410 in
decimale, si vede inoltre che il criterio di divisibilità per 9, viene
sostituito da quello dell’11( o meglio dell’ uno-uno ottale). Se infatti facciamo la somma delle cifre pari e di quelle
dispari e poi sottraiamo le due somme l’una all’altra otteniamo 1 anziché zero
o multipli di 11(uno-uno). Il numero ottale 12328 =66610 in
decimale risulta divisibile per 910 =118, esso infatti
rispetta la regola del criterio dell’118,
e quella del 910 : le sue cifre sommate danno 1810(
multiplo di 910). C’è una regola per questo cambiamento dei criteri
di divisibilità? Gli esempi fatti forse ci danno l’idea.Possiamo
ipotizzare che nel sistema ottale il criterio di divisibilità per 9 corrisponde
in realtà a quello per 7 infatti se prendiamo il
numero ottale 7778=51110 in decimale, esso dà diviso per
208= 2x81+0x80=1610
le sole cifre che mi danno
problemi nel rendere non divisibile il numero per 8 sono le unità ottali, dalle decine ottali in
poi tutti i numeri che si ottengono sono per definizione divisibili per 8.
Possiamo fare l’ipotesi o congettura allora, che qualsiasi sistema
posizionale ammette almeno tre criteri di divisibilità quello dell’ N-1, o
prova del 9 generalizzata, quella dell’N o del numero di base per il dato
sistema posizionale, quello dell’N+1 o dell’11(uno-uno).Dimostriamo almeno che
è possibile fare la prova del 7 nel sistema ottale:
|
dividendo |
divisore |
|
36=2 |
3=3 |
|
resQuotoXresdivis +resto
divisione |
Prova del 7 |
|
resquoto12=3 3X3=11=2 |
2=2 |
|
Dividendo e suo resto |
Divisore e suo resto |
Quoto e suo resto |
|
36=2 |
12=3 |
3=3 |
|
Formula inversa e suo resto |
12X3=36=res=2 |
Il resto del dividendo coincide con quello della prova del 7 |
|
Prova del 7 |
3X3=11=2 |
2=2 |
|
Dividendo e suo resto |
Divisore e suo resto |
Quoto e suo resto |
|
37=3 |
12=3 |
3=3 |
|
Formula inversa e suo resto |
12X3=36 +1=res=3 |
Il resto del dividendo coincide con quello della prova del 7 |
|
Prova del 7 |
3X3+1=12=3 |
3=3 |
Si può vedere che essa è del tutto simile a quella del 9 e nulla deve essere fatto per modificarla se non cambiare il numero che azzera i resti. Infatti:
(36/3)8 = (30/3)10 a128=1010
|
dividendo |
divisore |
|
36=2 |
3=3 |
|
resQuotoXresdivis +resto
divisione |
Prova del 7 |
|
21X3=63=2 3X3=11=2 |
2=2 |
Resta ovviamente il problema dell’inversione delle cifre:
Non è ovviamente difficile
dimostrare questa congettura per determinate basi il problema è dimostrarlo per N
qualsiasi. Il criterio per N l’ho già dimostrato ed è
banale, quello per N-1, dovrebbe funzionare così: dividendo per N-1 qualsiasi
numero otteniamo come resti i numeri da zero a N-2 le cifre del sistema posizionale di base N (SpN) possono essere scritte JL con
L=0…N-1 e possono essere rappresentate da lettere o numeri ma noi useremo
numeri anche di due o più cifre
separando le cifre con un punto ad es. 01.17 potrebbe essere un numero Sp18 di
due cifre e quindi sarebbe 18+17=35 in base decimale in questa maniera non si
fa nessuna fatica ad interpretare un numero in base qualsiasi perché non
bisogna ricordare alcun carattere associato ad un numero come per es. A=10, B =
11 … in esadecimale. Possiamo scrivere J2.
J1. J0, dove l’indice serve a distinguere ci dicono se la
cifra è un unità L=0, decina=1 etc,
quando non si sa esplicitamente il
valore, essi come ovvio, eventualmente possono avere valori identici, ma
diversa importanza nel sistema posizionale così come
J2xN2+
J1xN1+ J0xN0
J2+ J1+J0=N-1
a
J2xN2+ J1xN1+ J0xN0
J2xN2+
J1x(N-1)1+ J1xN0+J0xN0a
(N-1- J1 -J0 )xN2 + J1x(N-1)1+
J1+J0a
(N-1)N2 -( J1 +J0 )x(N2-1)
+ J1x(N-1)a
(N-1)(N2 -( J1 +J0 )(N+1) + J1)a
che è un numero divisibile per N-1inoltre
(N-1)(N2 -( J1 +J0 )(N+1) + J1)> (N-1)(N2 -( N-1 )(N+1) + J1)a
(N-1)(N2 -(N2-1) + J1)a
(N-1)(1 + J1)
ovviamente positiva. Dimostrato per tre cifre qualsiasi eventualmente alcune di esse possono essere nulle, quindi sicuramente vale anche per numeri a due cifre. Vediamo, ora se possiamo trovare un metodo iterativo per dimostrare questo teorema per qualsiasi numero di cifre. E’ facile dimostrare per numeri di quattro cifre che ottengono da quelli di tre divisibili N-1, che
(J2. J1.J0 )x10N= J2. J1.J0 .0
cioè i numeri moltiplicati per numero di base, cioè la decina del sistema posizionale preso in considerazione, sono divisibili per N-1, questo perchè semplicemente abbiamo aggiunto un fattore al numero dato e questa operazione non elimina il fattore N-1, quindi il numero ottenuto sarà ancora divisibile per N-1. Ora, se sottraiamo uno a J0 è come se avessimo tolto N a tutto il numero, se questo lo mettiamo al posto delle unità dove prima c’era zero, allora abbiamo aggiunto uno al numero intermedio he avevamo ottenuto:
J2. J1.(J0 -1).0 => J2. J1.(J0 -1).1
quindi al numero iniziale abbiamo sottratto N-1, infatti -N+1=-(N-1) avendo sottratto N-1, il numero ottenuto è ancora divisibile per N-1, ma una volta di meno cioè se ottenevano come risultato della divisione 13, dopo l’operazione fatta otteniamo 12, ora ripetendo l’operazione più volte possiamo arrivare fino a J2. J1.0.J0 , ottenendo vari numeri sempre divisibili per N-1, una volta meno della precedente.