Analisi Complessa
Lezione del 12 novembre 2009-11-12
In questa lezione, estendiamo il campo dei numeri reali con . In particolare, diamo ai numeri complessi le operazioni di somma, prodotto e divisione.
Ricordiamo che un numero complesso è un oggetto nella forma
Dove a e b sono numeri reali e
Ricordiamo che a e b si dicono, rispettivamente, parte reale e parte immaginaria del numero complesso
1.Somma di
due numeri complessi
Siano e due numeri complessi. Poniamo
La somma di due numeri complessi ha un significato geometrico, E’ la diagonale del parallelogramma individuato dai due punti che rappresentano e nel piano di Gauss-Argand.
Rappresentazione geometrica della somma di due numeri complessi
Esempio
Allora
z
. I due numeri complessi in questo caso si dicono coniugati.
Due numeri complessi sono coniugati se hanno la stessa parte reale e parte immaginaria opposta
Esercizio sia un numero complesso. Trovare il numero coniugato di z.
Sia un numero complesso, Il coniugato di si indica con
Sia poniamo
La differenza di due numeri complessi è immediata. Osserviamo infatti che non è che
Prodotto di due numeri complessi. Siano
Il prodotto si fa nella maniera naturale
Esempio 2
Quindi, in generale si ha
Inverso di un numero complesso. Sia L’inverso di z –che si indica con -è tale che
Se allora . Infatti
A questo punto è facile definire il quoziente di due numeri complessi