PROBLEMA 1:

Immaginate di avere una scacchiera senza le due caselle agli angoli opposti, come in figura.

Avete anche 31 tessere di domino di dimensione tale che ogni tessera ricopre esattamente 2 quadrati. E' possibile disporre le 31 tessere in modo che ricoprano esattamente tutti i 62 quadrati che compongono la scacchiera tagliata?

PROBLEMA 2

a) Una terna pitagorica è un insieme di tre numeri interi tali che la somma del quadrato del primo con il quadrato del secondo numero dà esattamente il quadrato del terzo numero.Sapete quante terne pitagoriche esistono ? No? Ve lo dico io: esse sono infinite; voi riuscireste a dimostrarlo?

b) Se questo vi sembra troppo semplice, potete sempre provare a dimostrare che esistono infinite terne pitagoriche primitive, in cui i tre numeri non hanno divisori comuni (tranne l'unita', naturalmente).

PROBLEMA 3

Stavolta avete a che fare con una anfora, nella quale si trovano 75 palline bianche e 150 nere. Accanto ad essa si trova un gran mucchio di palline nere. Le palline vengono tolte dalla anfora seguendo queste regole:

1. Tolgo a caso 2 palline dall' anfora.
2. Se almeno una è nera,la mettiamo nel mucchio e gettiamo di nuovo l' altra nell' anfora,sia essa bianca o nera.
3. Se tutte e 2 le palline tolte sono bianche,le scartiamo entrambe e mettamo nell' anfora una pallina nera presa dal mucchio.

Notate che ogni volta che pesco nell' anfora, in essa ci sarà sempre una pallina in meno di quante ce ne fossero prima della mossa. Alla fine rimarrà una sola pallina.Di che colore è l' ultima pallina?

PROBLEMA 4

Il problema delle otto regine è stato uno dei più sfuggenti fino all' avvento dei calcolatori. La mente umana fatica quando la soluzione non va ricercata per via analitica, ma semplicemente tentando tutte le combinazioni possibili. Persino il famoso Gauss non riuscì a risolverlo completamente!!!
Si tratta di riuscire a posizionare in una scacchiera 8 regine in modo tale che con una mossa nessuna regina possa mangiarne un' altra. Qui sotto si trova il programma in Pascal che trova tutte le soluzioni. Esse sono 92, ma se teniamo conto delle simmetrie (rotazioni di 90° o 180° e simmetrie assiali) si riducono a 12. Se mi scrivete ve le farò avere.
I significati delle variabili sono:

x[i]= posizione della regina nella i-esima colonna
a[j]=vero se nessuna regina giace nella riga j-esima
b[j]=vero se nessuna regina occupa la j-esima diagonale con direzione S-O
c[j]=vero se nessuna regina occupa la j-esima diagonale con direzione S-E

program ottoregine(output);

uses Crt;

var i:integer;
a : array[1..8] of boolean;
b : array[2..16] of boolean;
c : array[-7..7] of boolean;
x : array[1..8] of integer;

procedure stampa;
var k:integer;
begin
for K:=1 to 8 do write(x[k]:4);
writeln;
end {procedure stampa};

procedure tenta(i:integer);
var j:integer;
begin
for j:=1 to 8 do
if (a[j] and b[i+j] and c[i-j]) then
begin
x[i]:=j;
a[j]:=false;
b[i+j]:=false;
c[i-j]:=false;
if i<8 then tenta(i+1) else stampa;
a[j]:=true;
b[i+j]:=true;
c[i-j]:=true;
end
end {tenta};

begin
for i:=1 to 8 do a[i]:=true;
for i:=2 to 16 do b[i]:=true;
for i:=-7 to 7 do c[i]:=true;
tenta(1)
end.

Per le soluzioni, e-mail to : leonardo.avella@mo.nettuno.it

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