LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

 

Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere ai punti del piano altri punti del piano stesso (trasformazione biettiva)

Un’isometria è una trasformazione geometrica che lascia invariate le distanze.

 

Si ha un punto unito in una trasformazione se esso coincide con la sua immagine (trasformato);sono uniti tutti i punti che si trovano sull’asse di simmetria.

 

Una retta si chiama unita se i trasformati dei suoi punti appartengono alla stessa retta.

Una retta si dice puntualmente unita se è formata da punti uniti;sono puntualmente unite tutte le rette che sono sovrapposte all’asse di simmetria.

 

EQUAZIONI DELLE SIMMETRIE ASSIALI

 

   

 

L’ascissa cambia di segno poichè come possiamo osservare dal disegno H sarà il punto medio di PP’ e quindi abbiamo che la distanza PH=P’H e quindi l’ascissa cambia di segno mentre l’ordinata rimane uguale poiché i punti si trovano sulla stessa retta y=K.

 

 

In questo caso accade la stessa cosa della precedente dimostrazione solo che è rispetto all’asse delle x quindi è l’ascissa che rimane invariate poiché si trovano su di una stessa retta x=K mentre l’ordinata cambia di segno.

 

b)Simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse y

NH=HM                                                                                               Prendendo in considerazione il disegno abbiamo che essendo una isometria,rispetto a r,NH deve esse uguale a HM.

 

HN=OH-ON

Che tradotto in coordinate: 

HN=K-x

HM=OM-OH                  

Che tradotto in coordinate: 

HM=x’-K                         

Quindi eguagliamo le due distanze

K-x=x’-K                                                                                                               

x’=2k-x                                                                                                 E quindi:

                                                   íx¹=2k-x

                                                   íy¹=y

Stesso procedimento per una simmetria rispetto ad un asse parallelo all’asse x,però abbiamo:  íx¹=x

                                                                                                                                               íy¹=2k-y

 

 

c)Simmetria centrale rispetto a un punto e all’origine degli assi:

Due punti si dicono simmetrici rispetto a C se C rappresenta il punto medio del segmento PP’.

Sono globalmente unite tutte le rette che passano per C.

C deve essere considerato come punto medio,quindi C avrà per coordinate C([x+x’]/2;[y+y’]/2);quindi eguagliamo le coordinate di c xc e yc con la formula per calcolarle e visto che in una simmetria centrale dobbiamo calcolare le coordinate dell’immagine di P ossia P’ calcoliamo x’ e y’.

 

xc=(x+x’)/2                              yc=(y+y’)/2

2xc=x+x’                                  2yc=y+y’

x’=2xc-x                                   y’=2yc-y

 

Quindi abbiamo che   íx¹=2xc-x

                          íy¹=2yc-y

 

 

Se abbiamo una simmetria centrale rispetto all’origine degli assi O(0;0) basta sostituire a xc e yc le sue coordinate poiché O è il centro di simmetria;e si ha:

                                                                                                                                               GOGETA

 

 

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