|
| lezione 1
(06/10/24, 3h) Insiemi numerici e proprietà. Irrazionalità di √2 (dim.). Operazioni su ℝ e proprietà. Ordine e rappresentazione geometrica dell'insieme dei numeri reali. Compatibilità tra ordine ed operazioni su ℝ. Intervalli. Esempi ed esercizi. lezione 2 (10/10/24, 3h) Operazioni tra insiemi (unione, intersezione). Piano cartesiano. Pendenza di un segmento e di una retta. Rette nel piano cartesiano. Equazione esplicita di una retta. Equazione implicita di una retta. Appartenenza di un punto ad una retta. Esempi ed esercizi. lezione 3 (15/10/24, 3h) Condizione di parallelismo e perpendicolarità. Equazione di una retta noti il coefficiente angolare ed un suo punto. Interpretazione geometrica di una equazione/disequazione di primo grado. Parabole nel piano cartesiano. Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate. Formula risolutiva per le equazione di secondo grado. Esempi ed esercizi. lezione 4 (17/10/24, 3h) Interpretazione geometrica di una equazione/disequazione di secondo grado. Distanza tra due punti. Equazione di una circonferenza nel piano cartesiano. Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico. Esempi ed esercizi. lezione 5 (22/10/24, 3h) Osservazioni sulla definizione di funzione. Ingettività. Surgettività. Invertibilità. Esempi ed esercizi. lezione 6 (24/10/24, 3h) Funzioni elementari: lineari, potenza n-sima, radice n-sima, esponenziale. Moto rettilineo uniforme. Assorbimento del potassio in una foglia di mais. Crescita di una popolazione batterica. Esempi ed esercizi. lezione 7 (29/10/24, 2h) Osservazioni sulla definizione di funzione esponenziale. Funzioni elementari:logaritmo. Seno e coseno di un angolo. Esempi ed esercizi. lezione 8 (31/10/24, 3h) Funzioni elementari: seno, arcseno, coseno, arcocoseno, tangente, arcotangente, cotangente, arcocotangente. Equazioni e disequazioni elementari. Esempi ed esercizi. lezione 9 (5/11/24, 3h) Equazioni e disequazioni riconducibili ai casi elementari. Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni con più funzioni elementari. Funzioni definite a tratti. Esempi ed esercizi. lezione 10 (7/11/24, 2h) Germinazione di cocomeri. La funzione valore assoluto. Equazioni e disequazioni con il valore assoluto. Introduzione alle funzioni composte. Esempi ed esercizi. lezione 11 (8/11/24, 2h) Funzioni composte. Operazioni sui grafici: traslazione, passaggio all'opposto, passaggio al valore assoluto, simmetrizzazione. Esempi ed esercizi. lezione 12 (12/11/24, 3h) Operazioni sulle funzioni: somma, prodotto. Definizione intuitiva di limite. Esempi ed esercizi. lezione 13 (14/11/24, 3h) Intorni di un punto. Punti di accumulazione. Definizione formale di limite. Limite destro e limite sinistro. Teorema di unicità del limite. Teorema sul limite di una funzione elementare. Operazioni su ℝ ampliato. Forme indeterminate. Operazioni sui limiti. Esempi ed esercizi. lezione 14 (19/11/24, 3h) Teorema sul limite di una funzione composta. Limiti di una funzione polinomiale. Limiti di una funzione razionale. Esempi ed esercizi. (22/11/24, 2h) Correzione esercizi di preparazione al primo esonero. Il primo esonero riguarderà gli argomenti trattati dalla lezione 1 alla lezione 14, fino al Teorema sul limite di una funzione composta. lezione 15 (10/12/24, 3h) Limiti con razionalizzazione. Limiti risolvibili per confronto. Teorema del confronto (per limiti finiti). Prodotto di una funzione infinitesima per una funzione limitata. Confronto tra infiniti e gerarchia. Esempi ed esercizi. lezione 16 (12/12/24, 3h) Confronto asintotico e limiti notevoli. Confronto tra le funzioni sinx ed x in un intorno dello 0. Confronto tra le funzioni tanx ed x in un intorno dello 0. Principio di sostituzione degli infiniti/infinitesimi equivalenti. Funzioni monotone. Applicazione alla risoluzione di disequazioni. Esempi ed esercizi. lezione 17 (17/12/24, 3h) Teorema di monotonia delle funzioni composte. Applicazione alla risoluzione di limiti. Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità di una funzione composta. Punti di discontinuità e loro classificazione. Esempi ed esercizi. lezione 18 (19/12/24, 3h) Continuità su un intervallo e conseguenze. Teorema dei valori intermedi. Teorema degli zeri. Generalizzazioni ad un intervallo qualsiasi. Risoluzione approssimata di una equazione. Ottimizzazione: estremi assoluti di una funzione. Teorema di Weierstrass. Esempi ed esercizi. lezione 19 (07/01/25, 3h) Introduzione al concetto di derivata. Crescita di una popolazione batterica. Velocità di un corpo in moto. Problema della tangente ad una curva. Tasso di variazione medio ed istantaneo. Rapporto incrementale. Funzioni derivabili: definizione ed interpretazione geometrica. Derivata di una funzione costante. Derivata di una funzione lineare. Derivata della funzione potenza con esponente reale. Derivata della funzione radice quadratae punti cuspidali. Derivata della funzione valore assoluto e punti angolosi. Esempi ed esercizi. lezione 20 (09/01/25, 3h) Regole di derivazione. Operazioni sulle derivate. Derivazione di una funzione composta. Relazione tra continuità e derivabilità (dim.). Equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Punti critici di una funzione derivabile. Teorema di Fermat (dim). Ricerca di punti di massimo/minimo relativi ed assoluti. Teorema di Rolle (dim.). Teorema di Lagrange. Esempi ed esercizi. lezione 21 (14/01/24, 3h) Conseguenze del Teorema di Lagrange. Caratterizzazione dell funzioni costanti (dim.). Relazione tra monotonia e segno della derivata (dim.). Derivata seconda e concavità. Grafico probabile di una funzione. Esempi ed esercizi. lezione 22 (16/01/24, 3h) Grafico probabile di una funzione. Esercizi. |