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| lezione 1
(10/10/23, 3h) Insiemi numerici e proprietà. Irrazionalità di √2 (dim.). Relazione d'ordine e rappresentazione geometrica dell'insieme dei numeri reali. Densità di ℚ in ℝ. Operazioni su ℝ e proprietà. Esempi ed esercizi. lezione 2 (12/10/23, 3h) Compatibilità tra ordinamento ed operazioni su ℝ. Intervalli. Insiemi limitati. Operazioni tra insiemi (unione, intersezione). Piano cartesiano. Pendenza di un segmento e di una retta. La retta nel piano cartesiano. Equazione esplicita di una retta. Esempi ed esercizi. lezione 3 (17/10/23, 2h) Equazione implicita di una retta. Condizione di parallelismo e perpendicolarità. Appartenenza di un punto ad una retta. Equazione di una retta noti il coefficiente angolare ed un suo punto. Posizione reciproca tra due rette e interpretazione geometrica di un sistema lineare. Interpretazione geometrica di una equazione/disequazione di primo grado. lezione 4 (19/10/23, 3h) La parabola nel piano cartesiano. Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate. Formula risolutiva per le equazione di secondo grado. Interpretazione geometrica di una equazione/disequazione di secondo grado. Distanza tra due punti. Equazione di una circonferenza nel piano cartesiano. Esempi ed esercizi. lezione 5 (24/10/23, 3h) Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico. Retta e parabola come grafico di una funzione. Restrizione. Surgettività. Esempi ed esercizi. Osservazioni sulla definizione di funzione. Esempi ed esercizi. lezione 6 (26/10/23, 3h) Ingettività. Invertibilità: definizione, caratterizzazione ed interpretazione geometrica. Funzioni elementari: lineari, potenza n-sima, radice n-sima. Moto rettilineo uniforme. Assorbimento del potassio in una foglia di mais. Esempi ed esercizi. lezione 7 (31/10/23, 4h) Funzioni elementari: esponenziale, logaritmo, seno, arcseno, coseno, arcocoseno, tangente, arcotangente, cotangente, arcocotangente. Crescita di una popolazione batterica. Equazioni elementari. Esempi ed esercizi. lezione 8 (7/11/23, 3h) Disequazioni elementari. Equazioni e disequazioni riconducibili ai casi elementari. Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni con più funzioni elementari. Funzioni definite a tratti. Germinazione di un cocomero. Esempi ed esercizi. lezione 9 (9/11/23, 2h) La funzione valore assoluto. Equazioni e disequazioni con il valore assoluto. Funzioni composte. Operazioni sui grafici: traslazione, passaggio all'opposto, passaggio al valore assoluto, simmetrizzazione. Esempi ed esercizi. lezione 10 (14/11/23, 3h) Operazioni sui grafici. Operazioni sulle funzioni: somma, prodotto. Definizione intuitiva di limite. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. Definizione formale di limite. Limite destro e limite sinistro. Esempi ed esercizi. lezione 11 (16/11/23, 3h) Teorema di unicità del limite. Teorema sul limite di una funzione elementare. Operazioni su ℝ ampliato. Forme indeterminate. Operazioni sui limiti. Teorema sul limite di una funzione composta. Esempi ed esercizi. Il primo esonero riguarderà gli argomenti trattati dalla lezione 1 alla lezione 11. lezione 12 (21/11/22, 3h) Limiti di una funzione polinomiale. Limiti di una funzione razionale. Esempi ed esercizi. Correzione esercizi di preparazione al primo esonero. lezione 13 (23/11/23, 3h) Limiti di una funzione irrazionale. Teorema del confronto e conseguenze. Prodotto di una funzione infinitesima per una funzione limitata. Rapporto tra una funzione limitata ed una funzione divergente. Somma di una funzione divergente e di una funzione limitata. Esempi ed esercizi. Correzione prima prova di autovalutazione. lezione 14 (12/12/23, 3h) Confronto tra infiniti e gerarchia. Confronto tra infinitesimi. Confronto asintotico e limiti notevoli. Confronto tra le funzioni sinx ed x in un intorno dello 0 (dim.). Confronto tra le funzioni 1- cosx ed x2 in un intorno dello 0 (dim.). Esempi ed esercizi lezione 15 (14/12/23, 3h) Principio di sostituzione degli infiniti/infinitesimi equivalenti. Esempi ed esercizi. Funzioni monotone: definizione ed esempi. Applicazione alla risoluzione di equazioni e disequazioni. Applicazione alla risoluzione di limiti. lezione 16 (19/12/23, 3h) Teorema di monotonia delle funzioni composte. Funzioni continue: definizione e primi esempi. Continuità delle funzioni elementari. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità di una funzione composta. Punti di discontinuità e loro classificazione. Esempi ed esercizi. lezione 17 (09/01/24, 3h) Continuità su un intervallo e conseguenze. Teorema dei valori intermedi. Teorema degli zeri (dim.). Risoluzione approssimata di una equazione. Ottimizzazione: estremi assoluti e relativi di una funzione. Teorema di Weierstrass. Esempi ed esercizi. lezione 18 (24/01/24, 3h) Introduzione al concetto di derivata. Crescita di una popolazione batterica. Velocità di un corpo in moto. Problema della tangente ad una curva. Tasso di variazione medio ed istantaneo. Rapporto incrementale. Funzioni derivabili: definizione ed interpretazione geometrica. Derivata di una funzione costante. Derivata di una funzione lineare. Derivata della funzione potenza con esponente reale. Derivata della funzione radice quadrata. Esempi ed esercizi. lezione 19 (16/01/24, 3h) Derivata della funzione valore assoluto. Punti angolosi e punti cuspidali. Regole di derivazione. Algebra delle funzioni derivabili. Derivazione di una funzione composta. Relazione tra continuità e derivabilità (dim.). Approssimazione lineare: e quazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Teorema di Fermat (dei punti critici). Teorema di Rolle (dim.). Teorema di Lagrange. Esempi ed esercizi. lezione 20 (18/01/24, 3h) Conseguenze del Teorema di Lagrange. Caratterizzazione dell funzioni costanti (dim.). Relazione tra monotonia e segno della derivata (dim.). Ricerca di punti di massimo/minimo relativi ed assoluti. Derivata seconda e concavità. Punti di flesso. Grafico probabile di una funzione. Esempi ed esercizi. lezione 21 (23/01/24, 3h) Grafico probabile di una funzione. Esercizi. |