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| lezione 1
(18/10/22, 3h) Insiemi numerici e proprietà. Irrazionalità di √2 (dim.). Relazione d'ordine e rappresentazione geometrica dell'insieme dei numeri reali. Densità di ℚ in ℝ. Lo spazio vettoriale (ℝ,+, •). Compatibilità tra ordinamento ed operazioni. Intervalli. lezione 2 (20/10/22, 3h) Insiemi limitati. Operazioni tra insiemi (unione, intersezione). Piano cartesiano. Distanza tra due punti in ℝed ℝ2. Pendenza di un segmento e di una retta. La retta nel piano cartesiano. Equazione esplicita di una retta. Esempi ed esercizi. lezione 3 (25/10/22, 3h) Equazione implicita di una retta. Condizione di parallelismo e perpendicolarità. Appartenenza di un punto ad una retta. Equazione di una retta noti il coefficiente angolare ed un suo punto. Posizione reciproca tra due rette e interpretazione geometrica di un sistema lineare. Interpretazione geometrica di una equazione/disequazione di primo grado. La parabola nel piano cartesiano. Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate. Esempi ed esercizi. lezione 4 (27/10/22, 3h) Formula risolutiva per le equazione di secondo grado. Interpretazione geometrica di una equazione/disequazione di secondo grado. Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico. Retta e parabola come grafico di una funzione. Restrizione. Esempi ed esercizi. lezione 5 (03/11/22, 3h) Osservazioni sulla definizione di funzione. Invertibilità: definizione, caratterizzazione ed interpretazione geometrica. Funzioni elementari: lineari, potenza n-sima. Assorbimento del potassio in una foglia di mais. Esempi ed esercizi lezione 6 (08/11/22, 3h) Funzioni elementari: radice n-sima, esponenziale, logaritmo, seno, arcseno, coseno, arcocoseno. Crescita di una popolazione batterica. Esempi ed esercizi. lezione 7 (10/11/22, 3h) Funzioni elementari: tangente, arcotangente, cotangente, arcocotangente. Equazioni e disequazioni elementari. Esempi ed esercizi. lezione 8 (15/11/22, 3h) Funzioni definite a tratti. La funzione valore assoluto. Equazioni e disequazioni con il valore assoluto. Germinazione di un cocomero. Funzioni composte. Equazioni e disequazioni riconducibili ai casi elementari. Esempi ed esercizi. lezione 9 (17/11/22, 3h) Operazioni sui grafici: traslazione, passaggio all'opposto, passaggio al valore assoluto, simmetrizzazione. Somma, prodotto e rapporto di funzioni. Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni. Esempi ed esercizi. lezione 10 (21/11/22, 3h) Funzioni pari, dispari. Funzioni monotone. Teorema di monotonia di una funzione composta (dim.). Funzioni limitate. Definizione intuitiva di limite. Intorni di un punto. Esempi ed esercizi. lezione 11 (24/11/22, 3h) Punti di accumulazione. Definizione formale di limite. Limite destro e limite sinistro. Teorema di unicità del limite (dim.). Verifica di un limite. Esempi ed esercizi. lezione 12 (29/11/22, 3h) Teorema sul limite di una funzione elementare. Operazioni su ℝ ampliato. Forme indeterminate. Teorema sull'algebra dei limiti. Teorema sul limite di una funzione composta. Limite di una funzione polinomiale. Esempi ed esercizi. lezione 13 (06/12/22, 3h) Limiti di una funzione razionale. Teorema del confronto (caso finito). Prodotto di una funzione infinitesima per una funzione limitata. Esempi ed esercizi --- pausa della didattica per esoneri ed esami --- lezione 14 (10/01/23, 3h) Rapporto tra una funzione limitata ed una funzione divergente. Somma di una funzione limitata ed una divergente. Confronto tra infiniti. Gerarchia degli infiniti. Confronto tra infinitesimi. Esempi ed esercizi lezione 15 (12/01/23, 3h) Limiti notevoli e stime asintotiche. Confronto tra le funzioni sinx ed x in un intorno dello 0 (dim.). Confronto tra le funzioni tanx ed x in un intorno dello 0 (dim.). Confronto tra le funzioni cosx ed x2 in un intorno dello 0 (dim.). Formalizzazione del concetto di infiniti ed infinitesimi equivalenti. Principio di sostituzione degli infiniti/infinitesimi equivalenti. Esempi ed esercizi. lezione 16 (17/01/23, 3h) Funzioni continue: definizione e primi esempi. Continuità delle funzioni elementari. Algebra delle funzioni continue. Continuità di una funzione composta. Punti di discontinuità e loro classificazione. Teorema di Weierstrass. Massimo e minimo di una funzione. Esempi ed esercizi. lezione 17 (19/01/23, 3h) Ulteriori osservazioni sul Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Teorema degli zeri (dim.). Esercizi lezione 18 (24/01/23, 3h) Introduzione al concetto di derivata. Crescita di una popolazione batterica. Velocità di un corpo in moto. Problema della tangente ad una curva. Tasso di variazione medio ed istantaneo. Rapporto incrementale. Funzioni derivabili: definizione ed interpretazione geometrica. Derivata di una funzione costante. Derivata di una funzione lineare. Derivata della funzione potenza con esponente reale. Derivata della funzione radice quadrata. Derivata della funzione valore assoluto. Punti angolosi e punti cuspidali. Esempi ed esercizi. lezione 19 (26/01/23, 3h) Regole di derivazione. Algebra delle funzioni derivabili. Derivazione di una funzione composta. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Relazione tra continuità e derivabilità (dim.). Teorema di Fermat (dei punti critici). Teorema di Rolle (dim.). Teorema di Lagrange. Conseguenze del Teorema di Lagrange. Esempi ed esercizi. lezione 20 (31/01/23, 3h) Caratterizzazione dell funzioni costanti (dim.). Relazione tra monotonia e segno della derivata (dim.). Ricerca di punti di massimo/minimo relativi ed assoluti. Derivata seconda e concavitò. Punti di flesso. Grafico probabile di una funzione. Esempi ed esercizi. lezione 21 (31/01/23, 2h) Grafico probabile di una funzione. Esercizi. |