Trottola levitante
Il
Levitron è un simpatico gioco basato sulla levitazione magnetica e che
coinvolge una notevole serie di leggi fisiche come, solo per citarne alcune:
forza di gravità, magnetismo, stabilizzazione giroscopica, inerzia. Esso
è costituito semplicemente da due parti: una trottola ed una base
entrambe magnetiche, ma in modo che la parte inferiore della trottola sia dello
stesso segno della parte superiore della base. Quest’ultima è
generalmente di forma quadrata e magnetizzata in modo che il suo centro sia
neutro, ma è stato dimostrato che può essere anche sostituita da
un anello magnetico (figura 1).
La
trottola viene quindi respinta dalla base, essendo di ugual segno, ed è
proprio questa forza di repulsione che riesce a mantenerla sollevata in aria.
Assumiamo che il momento magnetico della trottola sia μ e rivolto sempre
in direzione verticale verso il basso, mentre quello della base sia B e rivolto
verso l’alto. L’energia potenziale totale risulta quindi essere
pari a: 
, dove mgz è l’energia potenziale gravitazionale
della trottola. Perché la trottola si possa sollevare e rimanere in
equilibrio, è necessario che la forza di repulsione 
bilanci il peso
mg della trottola. L’energia potenziale, quindi, deve avere un minimo nel
punto di levitazione e una curvatura positiva in ogni direzione: 
, dove xi sono le tre direzioni x,y e z (essendo
una funzione in tre variabili). Ma 
non è uguale a zero in alcun punto dello spazio e
l’energia potenziale, invece di avere un minimo, possiede un punto di
sella. Il sistema, in condizioni stazionarie, non permette quindi alla trottola
di rimanere sospesa in aria. Il teorema di Earnshaw infatti, a riprova di tale
risultato, afferma che non può esistere alcuna disposizione statica
stabile di cariche magnetiche. Se, infatti, si dispone semplicemente la
trottola al di sopra della base, essa non rimarrà in aria, ma si capovolgerà
in modo che i due poli opposti (della trottola e della base) vengano a
contatto. L’interazione fra i due campi magnetici, infatti, produce una
forza di torsione che fa capovolgere la trottola. Per questo motivo essa deve
essere posta in rotazione. In questo modo, essendo la trottola un corpo solido
dotato di un certo momento d’inerzia, si produce una stabilizzazione
giroscopica, cioè la trottola tenderà a mantenere fisso
l’asse di rotazione. Grazie al moto rotatorio, quindi, si avrà una
forza che si oppone a quella di torsione del campo magnetico e la trottola
rimarrà in equilibrio senza capovolgersi. Il moto giroscopico, quindi,
allinea continuamente l’asse di precessione della trottola alla direzione
del campo magnetico in ogni punto (figura 2) e permette alla curvatura
dell’energia potenziale di essere concava verso l’alto (non
più un punto di sella).
La
massa della trottola è quindi un elemento di estrema importanza, infatti
non deve essere troppo pesante in modo che si riesca a sollevare, ma neanche
troppo leggera poiché il momento di inerzia sarebbe troppo piccolo per
generare una forza abbastanza grande da evitare il ribaltamento. Anche il
numero di giri al secondo della trottola deve essere rispettare severe
restrizioni. Se tale parametro, infatti, risulta troppo piccolo, il momento
angolare 
, è debole
e non riesce a contrastare quello magnetico e la trottola si capovolge. Se
invece il numero di giri è troppo elevato, la precessione è
talmente lenta da non riuscire ad allineare l’asse di rotazione della
trottola con la direzione locale del campo magnetico e l’equilibrio
risulta instabile. Una condizione perché sia possibile una levitazione
stabile, è dunque che il limite superiore di giri al secondo sia
maggiore di quello inferiore. Anche se sembra una banalità, ciò
è possibile solo utilizzando materiali specifici, soprattutto per i
magneti. Da prove sperimentali si è osservato che il peso della trottola
deve essere continuamente variato (nell’ordine dello 0,3% del peso della
trottola) anche con prove distanti solo pochi minuti. Questo pare essere dovuto
a variazioni del campo magnetico dei due corpi (base e trottola) provocate, a
loro volta, da variazioni di temperatura dell’ambiente esterno.
Bibliografia:
http://www.physics.ucla.edu/marty/levitron/node1.html
http://www.levitron.com/physics.html