Postulati della meccanica quantistica

y

Di Morra Davide

Numeri complessi

Un numero si definisce complesso se ha una parte reale e una immaginaria

G = A + iB i =Ö - 1

Per ogni numero complesso esiste il suo coniugato G*

G* = A - iB

Il modulo di un numero complesso è sempre reale.

½G½=( GG*)^1/2 = ( A ²+ B ²)^1/2 = Ö A ²+ B ²

Due numeri complessi sono uguali quando è uguale sia la parte reale che quella immaginaria.

L’addizione e la sottrazione tra complessi sono eseguite secondo le regole applicate ai vettori.

z₁= x₁ + iy₁

z₂= x₂ + iy₂

z₁ + z₂ = (x₁+x₂)+i(y₁+y₂)

i è l’unità immaginaria definita da i² = -1

Una equazione che si incontra spesso trattando di numeri complessi è la “formula di Eulero”:

e^ia = cosa +isena

e^ia = cosa +isena ; e^-ia = cosa -isena

(e^ia)( e^-ia) = (cosa +isena)( cosa -isena)=

= cos²a -icosasena + isenacosa +sen²a =

= cos²a + sen²a =1

Gli operatori

Un operatore è un simbolo che applicato ad una certa funzione dice ciò che essa deve diventare. Operatori che tutti conosciamo sono i simboli di addizione, sottrazione , moltiplicazione e divisione. La loro caratteristica fondamentale è la posizione.

Vediamo alcuni esempi:

Algebra degli operatori

E’ possibile definire un’algebra degli operatori, cioè stabilire regole generali con cui manovriamo gli operatori anche davanti le funzioni.

Nel caso in cui più operatori agiscano su di una funzione si applica prima quello più a destra. Per es.

Addizione di due operatori

Commutatore

Due operatori commutano quando:

Esempio di due operatori che non commutano:

Operatori lineari

Gli operatori si definiscono lineari se vale:

Ad esempio la derivata è un operatore lineare mentre la radice quadrata non lo è:

Esempi di operatori

Un operatore P si dice complesso e P* si dice complesso coniugato se P contiene i e il suo coniugato –i:

Operatore gradiente

Fornisce la velocità di trasformazione di una certa funzione lungo le tre direzioni dello spazio. Si indica con Ñ ed è definito:

Operatore laplaciano

Connesso nel caso dell’equazione di Schrodinger alla energia cinetica.

Equazione agli autovalori

Si definisce equazione agli autovalori:

Dove P (q i ) è un operatore, G( q i ) è una funzione entrambe legate alle variabili q i e p è una costante; q i = coordinate generalizzate.

Quanto tale equazione è soddisfatta, G( q i ) è detta autofunzione dell’operatore e p è detto autovalore .

Funzioni di classe Q

Una funzione si definisce funzione di classe Q se soddisfa le seguenti proprietà:

1) È una funzione ad un sol valore

2) E’ una funzione continua

3) E’ una funzione a quadrato sommabile e a supporto compatto.

1)Si intende quelle funzioni per cui ad ogni valore di x corrisponde un solo valore di y. Ad esempio la funzione (x-a )² +( y-b )² =r² non è una funzione ad un sol valore:

y₂

y₁

x₁

2)Una funzione è una funzione continua in un intervallo se è continua in ogni punto dell’intervallo.

Ad esempio una funzione y=f(x) è continua in un punto x₀ se il Lim x®x₀ f(x)=f(x₀); cioè se il limite coincide con il valore della funzione in quel punto.

3)Una funzione è a quadrato sommabile se il suo quadrato è integrabile. Ad esempio la funzione

f( x)= 1/ x rispetta questa condizione

Mentre la funzione f( x)= 1/ x no

Anche nell’intervallo 2 e +¥

I postulati della meccanica quantistica

Si intende per postulato una assunzione da accettarsi a priori e non contraddetta dall’esperienza.

I postulati trovano la loro unica giustificazione nella loro abilità nel predire e correlare i fatti sperimentali e nella loro applicabilità generale.

Alcuni termini importanti:

“variabile dinamica”: ogni proprietà che interessa un sistema è definita variabile dinamica (posizione r, energia E, ecc..)

“osservabile”: ogni variabile dinamica che può essere misurata. In meccanica classica tutte le variabili dinamiche sono degli osservabili, invece in meccanica quantistica esistono restrizioni fondamentali sulla misura simultanea delle grandezze.

I Postulato

“Ogni stato di un sistema dinamico costituito da N particelle è descritto nel modo più completo possibile da una funzione Y (q 1 , q 2 , …q n , t) tale che la grandezza YY*dt è proporzionale alla probabilità di trovare q i nell’intervallo tra q i e q i +dq i ad un dato tempo t.”

Tutte le informazioni sulle proprietà del sistema sono contenute nella funzione d’onda Y che dipende solo dalle coordinate delle n particelle e dal tempo. Se le proprietà degli osservabili di un sistema non cambiano nel tempo si dice che il sistema si trova in uno stato stazionario (cioè se dp/ dt= 0). La seconda parte del postulato dà una interpretazione fisica della funzione Y . Questa interpretazione è visualizzabile in modo semplice con un sistema che contiene una sola particella nell’intervallo x e x+ dx ad un dato tempo t.

Le funzioni d’onda, affinché diano sempre un’interpretazione corretta della realtà fisica, devono essere di classe Q .

• La funzione d’onda deve essere continua.

• La funzione deve essere ad un sol valore

• La funzione d’onda deve essere a quadrato sommabile.

Queste restrizioni sono tutte collegate al postulato che YY*dt rappresenta una probabilità. La restrizione che sia a quadrato sommabile esprime la necessità che la probabilità di trovare la particella in tutto lo spazio sia finita. Un caso speciale è quando:

ò YY*dt = 1

tutto lo spazio

In questo caso si dice che la funzione Y è normalizzata.

Con dt si indica ovviamente dt = dx dy dz, e viene detto elemento di integrazione.

Verifichiamo se la funzione y = e^ax con -¥ £ x £+¥ è una funzione d’onda accettabile?

La funzione è ad un sol valore ed è finita, è continua ma è a quadrato sommabile?

Per a >0 è uguale a +¥ ; per a <0 è uguale a -¥. La funzione non è una funzione d’onda accettabile.

Verifichiamo se la funzione d’onda e^imj con m numero intero e 0 £ j £ 2p è una funzione d’onda accettabile.

La funzione d’onda è accettabile perché rispetta tutti e tre i requisiti per le funzioni di classe Q .

La funzione d’onda

Ma che utilità ha per noi la funzione d'onda y che è una funzione matematica?

Immaginiamo che l'elettrone sia rappresentabile da una carica elettrica dispersa nello spazio: allora, per ogni punto identificato dalle coordinate (x, y, z), il valore y² è proporzionale alla densità di carica in quel punto; oppure, preso un volume dt piccolo a piacere, y² dt rappresenta una misura della probabilità di trovare l'elettrone in quel volume dt.

Per ottenere la probabilità di trovare l'elettrone in una certa regione dello spazio occorre calcolare l'integrale ò y² dt esteso a tutta la regione che interessa. Chiameremo così "orbitale" una regione dello spazio delimitata da una superficie a uguale y² e, al cui interno, la probabilità di trovare l'elettrone sia, per esempio, 90% (se volessimo 100% dovremmo considerare "tutto” lo spazio).

Questa "definizione" sarà da noi usata per rappresentare graficamente gli orbitali; y

rappresenta perciò, per noi, soprattutto una funzione di probabilità.

z

1s

y

x

II Postulato

“Ad ogni proprietà di un osservabile di un sistema, è associato un operatore lineare Hermitiano corrispondente, e le proprietà fisiche dell’osservabile possono essere dedotte dalle proprietà matematiche dell’operatore.”

L’operatore Hermitiano dà la certezza di ottenere sempre valori reali nel calcolo dell’osservabile.

Un operatore Hermitiano è definito dalla seguente relazione:

y_i* e y_j sono funzioni che soddisfano le condizioni di accettabilità stabilite precedentemente (devono essere di classe Q) e a è l’operatore Hermitiano generico.

Esercizio

Ricorrendo alla formula per l’integrazione per parti:

Far vedere che l’operatore d/dx non è Hermitiano, mentre lo è i(d/dx).

Dobbiamo verificare che:

Essendo

L’operatore non è Hermitiano perché è cambiato il segno rispetto a quello di partenza.

Se è:

Applicando la formula di integrazione per parti al primo membro:

Confrontando il secondo membro della (1) con la (2) posso dire che l’operatore –i(d/dx) è un operatore Hermitiano.

Notazione di Dirac

Per convenienza, è utile introdurre un diverso tipo di notazione per gli integrali visti fin ora:

Proviamo ad utilizzarla per dimostrare che gli autovalori di un operatore Hermitiano sono reali, proprietà di cui devono godere se corrispondono ad un osservabile. Consideriamo ora un insieme di autofunzioniy di un operatore Hermitiano a . Vale a dire:

La complessa coniugata è:

Se si moltiplica i membri dell’equazione (1) per yi con i membri dell’equazione (2) peryi* e si integra su tutto lo spazio otteniamo:

Se valgono le condizioni di Hermitianità:

Poiché yi e yi* sono funzioni (e non operatori) non è importante l’ordine con cui viene eseguita l’operazione, per cui:

L’autovalore deve essere reale perché solo i numeri reali sono uguali al loro complesso coniugato.

Operatori di un dato osservabile

Si presenta ora il problema di scrivere gli operatori di un dato osservabile. Per prima cosa si scrive l’espressione classica dell’osservabile in esame in termini delle coordinate, dei momenti e del tempo. Successivamente si fanno le seguenti sostituzioni:

• si lasciano inalterate le variabili tempo e le coordinate.

• nell’ambito delle coordinate Cartesiane i momenti p_q sono sostituiti dagli operatori differenziali

-ih_t(¶ /¶q); h_t = h /2p

Come esempio costruiamo l’operatore quantomeccanico dell’energia cinetica T espresso rispetto alle coordinate cartesiane delle particelle:

L’operatore di interesse più generale è quello associato all’energia totale del sistema. L’espressione classica dell’energia totale è la funzione Hamiltoniano e pertanto l’operatore corrispondente è detto operatore Hamiltoniano.

L’espressione dell’ hamiltoniano per un sistema costituito da una sola particella è

Dove T è l’operatore energia cinetica e V è l’operatore energia potenziale che dipende soltanto dalla coordinata q.

Pertanto:

III Postulato

“Sia a un operatore che corrisponde ad un osservabile e vi sia un insieme di sistemi identici nello statoy_s . Inoltre y_s sia autofunzione di a cioè

ay_s = a_sy _s

dove è un numero. Se uno sperimentatore esegue una serie di misure dell’osservabile che corrisponde ad a su elementi diversi dell’insieme, dovrà ottenere come risultato a_s.”

Solamente quandoy_s ed a soddisfano questa condizione l’esperimento darà lo stesso risultato ad ogni misura.

Questo postulato crea un collegamento tra il formalismo della meccanica quantistica e le misure sperimentali.

Supponiamo di voler calcolare le energie permesse di un sistema atomico o molecolare e di volerle confrontare con le misure sperimentali. Il terzo postulato stabilisce che, affinché le misure delle energie permesse di un sistema, costituito da particelle identiche, siano esatte lo stato del sistema deve essere descritto da una funzione d’onda y che sia autofunzione dell’operatore che corrisponde all’energia totale, vale a dire all’ Hamiltoniano. Il problema del calcolo delle energie permesse si riduce allora al calcolo di y _n ed E che soddisfano le equazioni agli autovalori:

Nel caso di un sistema costituito da una sola particella si ha sostituendo la

nella

si ottiene:

Che può essere scritta come:

da cui

Questa è l’equazione d’onda di Schrodinger di una singola particella in uno stato stazionario.

IV Postulato

Talvolta vogliamo conoscere le caratteristiche di un sistema che non è descritto da un’autofunzione dell’operatore associato a quella proprietà, cioè quando non vale l’equazione agli autovalori, ovvero:

ay_s ¹ a_sy _s

“Sia dato un operatore a ed un sistema di insiemi identici descritti da una funzione d’onda y_s che non è autofunzione di a ; una serie delle misure delle proprietà che corrisponde ad a su elementi diversi dell’insieme non dà il medesimo risultato. Si ottiene piuttosto una distribuzione di risultati, la media dei quali darà:

<a> rappresenta il <<valore medio>> o di aspettazione della grandezza associata ad a nel caso in cuiy_s non sia autofunzione dia. Ovviamente sey_s è autofunzione di a, il valor medio sarà uguale all’autovalore.”

V Postulato

Molti esperimenti fatti in meccanica quantistica ed in spettroscopia riguardano fenomeni che dipendono dal tempo. In questo caso si presenta il problema di conoscere l’evoluzione della funzione di stato y(q,t).

“L’evoluzione nel tempo del vettore di statoy(q,t) è espressa mediante la relazione:

dove H è l’operatore Hamiltoniano”.

Questa è l’equazione di Schrodinger dipendente dal tempo.

Se consideriamo l’espressione dell’ Hamiltoniano

e la sostituiamo nell’espressione precedente otteniamo:

Se l’operatore non dipende esplicitamente dal tempo, è sempre possibile trovare una soluzione formale della forma:

Per mostrare la validità della

La sostituiamo nella

E otteniamo:

Se H non dipende dal tempo il termine esponenziale che esprime la dipendenza dal tempo può essere anteposto all’operatore ottenendo

L’equazione di Schrodinger si considera propriamente alla stregua di un postulato della meccanica quantistica e, quindi, non dovrebbe richiedere giustificazione più approfondita.

Vediamo però come l’equazione di Schrodinger costituisce una descrizione plausibile del comportamento della materia ritornando alla formulazione della meccanica classica data nel secolo diciannovesimo.

Ai tempi di Schrodinger era noto che un’onda piana aveva un’equazione classica del tipo:

Dove A è l’ampiezza massima dell’onda, l è la lunghezza d’onda, g è la frequenza e y è l’ampiezza dell’onda in un certo punto x.