Soluzione dell’equazione di D’Alembert

“ Lo studio profondo della natura è la fonte più fertile delle scoperte matematiche ”

Fourier

Laplace D’Alembert, uomo di vasti interessi, è oggi noto forse soprattutto per il principio che va sotto il suo nome, il principio di d’Alembert: le azioni e reazioni interne a un sistema di corpi rigidi in moto si fanno equilibrio. Nello studiare il problema delle corde vibranti giunse a formulare l’equazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine:

La cui soluzione deve essere del tipo :

Dimostriamolo:

(per effettuare le derivate seconde si usa la regola di derivazione composta).

La soluzione delle equazioni differenziali ordinarie era stata trovata non appena si era riconosciuta l’esistenza di una relazione inversa tra la differenziazione e la derivazione. Ma la maggior parte delle equazioni differenziali non si possono ridurre facilmente a semplici quadrature, e richiedono invece per la loro soluzione ingegnose sostituzioni o complicati algoritmi.

Bibliografia: “Storia della matematica” di Carl B.Boyer

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