Numeri surreali

“E’ facile essere certi basta essere sufficientemente vaghi”

C.Sarders Peirce

Un’idea che si è rivelata tra le più potenti della logica e della matematica è quella di insieme introdotta da Boole. Lui diede una prima idea della logica ed inseguito venne Cantor con gli insiemi infiniti tra 1874 e 1897. Un insieme è una collezione di elementi che potrebbero essere ortaggi , numeri o nomi di persona. Dati due insiemi possiamo farne l’unione , l’intersezione, ecc …. Per tutte queste nozioni occorre però introdurre ancora un concetto che è quello di insieme nullo o vuoto , cioè l’insieme che non contiene nessun elemento è denotato con il simbolo

Ø

E’ un po’ come il vuoto della fisica ottocentesca, aveva la potenzialità di essere parte di ogni cosa e non aveva nulla al proprio interno. Così l’insieme vuoto è l’unico che sia sottoinsieme di ogni altro insieme. Questo ci consente di definire i numeri naturali in modo rigoroso partendo dal nulla. Lo stratagemma funziona così :

Definisco lo zero dicendo che è l’insieme vuoto:

0 = Ø

Definisco poi l’uno :

1={0}

Poiché zero è l’insieme vuoto allora ho che :

1={Ø}

(Attenzione questo non è l’insieme vuoto ma è un insieme che contiene un elemento) , definiamo il numero due come :

2={0,1}={ Ø, {Ø}}

Analogamente per il numero tre :

3={0,1,2}={ Ø, {Ø},{ Ø, {Ø}}}

In generale , il numero :

N={0,1,2,…,N-1}

Ciascuno può essere sostituito dalla sua definizione in termini di insiemi racchiusi uno nell’altro utilizzando solo il concetto di insieme vuoto. La creazione di una struttura dal nulla assoluto non si è arrestata ai numeri naturali. Non molto tempo fa un matematico ingegnoso John Conway , costruisce con simili procedimenti numeri razionali , i decimali infiniti e tutti i numeri transfiniti. Questi figli del nulla sono chiamati numeri surreali. Ci sono due regole fondamentali, ogni numero è costituito da due insiemi uno sinistro e uno destro:

X={S|D}

Questi insiemi hanno la proprietà che nessun elemento dell’insieme sinistro è maggiore o uguale ad un qualsiasi elemento dell’insieme destro. Quindi lo zero si crea :

0={Ø|Ø} , 1={Ø|0} , -1={0|Ø} , …

Si procede così inserendo poi 1 e -1 dentro ecc… . Così un numero positivo N ci consente di generare :

N+1={N|Ø} , …

Per i numeri negativi :

-N-1={Ø|-N} , …

Possono essere definite addizioni e sottrazioni in modo coerente. Si possono poi definire numeri più esotici come l’infinito ( quello numerabile cioè senza limite ) :

∞={0,1,2,3,…| Ø}

∞-1={0,1,2,3,…| ∞ }

Conway riesce a costruire tutti i numeri transfiniti scoperti da Cantor , oltre che una quantità illimitata di strani oggetto come “ radice di infinito “ .

“ Chi ha detto che dal nulla può derivare solo il nulla ? “

Bibliografia: “Da zero a infinito” di Barrow

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