La soluzione di Diofanto

“ Il prudente s’arma d’una pistola e chiude a chiave la porta, scordandosi di ben altro spettro che gli e’ più da presso.”

Emily Dickinson

Questa e’ la soluzione di Diofanto al problema 28 tratto dal primo libro dell’Arithmetica. Dobbiamo trovare due numeri tali che la loro somma e la somma dei loro quadrati corrisponda a due valori determinati. Supponiamo che la somma sia 20 e la somma dei quadrati 208. Diofanto non indica i numeri semplicemente con x e y; egli preferisce scrivere 10 + x e 10 – x , sfruttando il fatto che la somma deve essere uguale a 20. L’equazione che Diofanto ottiene per la somma dei quadrati e’ quindi:

( 10 + x )² + ( 10 – x)² = 208

Ora poiché ( 10 + x )² = ( 10 + x )(10 + x) = 100 + 2x + x²

( 10 - x )² = ( 10 + x )(10 - x) = 100 - 2x + x²

per cui l’equazione diventa (raccogliendo tutti i termini):

200 + 2x² = 208

Sottraendo 200 da entrambi i lati si ha:

2x² = 8

Dividendo per 2 ed estraendo la radice quadrata ho x = 2. Concludendo i due numeri cercati sono 12 e 8.

Bibliografia: “L’equazione impossibile” di Mario Livio

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