ESAME DI STATO 2003 matematica pni. Svolgimento e soluzioni.

PROBLEMA 1

Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante

per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t.

La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s’intersecano in P. Al variare di r, P descrive il

luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica

milanese, (1718-1799)].

Dalla costruzione verifichiamo che il luogo dei punti P è quello disegnato in figura(versiera di Agnesi) ; qualsiasi retta passante per O verifica le condizioni richieste, ad eccezione della retta orizzontale, parallela alla retta t.

(nel grafico, a titolo di esempio, è stato preso a = 2 ma deve comunque essere > 0 trattandosi di un diametro).

1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni:

OD : DB = OA : DP

la prima proporzione deriva dalla similitudine dei triangoli ODB e OAC, entrambi rettangoli e conl’angolo in O in comune e osservando che DP e AC sono congruenti (lati opposti del rettangolo ACPB)

OC : DP = DP : BC  ove D è la proiezione ortogonale di B su OA;

La seconda proporzione deriva dal teorema della tangente e della secante (confronta testo di geometria) per cui la tangente (AC)  è media proporzionale tra l’intera secante (CO) e la parte esterna (BC) e osservando, anche in questo caso che DP e AC sono congruenti

2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e

monometriche Oxy, l’equazione cartesiana di G è:  la scelta del sistema è quella indicata in figura perché la funzione tende a O per x che tende a infinito suggerisce che che corrisponda alla situazione nella quale la retta OB non interseca la retta t (mentre inceve per x = 0 il valore èproprio a) . La costruzione si basa sulla prima proporzione dove OD= y , DB =  OA = a , DP =  da cui

 possiamo dividere per y in quanto diverso da zero non essendo possibile che l’ordinata del punto P sia 0, infatti sarà sempre 0<y<=1

3. Si tracci il grafico di G e si provi che l’area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte quella

del cerchio g. lo studio della funzione è semplice. La funzione è pari  infatti f(-x)= f(x), come suggerisce anche il problema (simmetria rispetto al diametro OA che diventa simmetria rispetto all’asse y) Il campo di esistenza è per tutto il campo reale, la funzione passa per (0,a), il segno è sempre positivo; i limiti per x che tende a infinito tendono a 0; la derivata è  , si annulla in x = 0 è positiva per x<0 e negativa per x>0 quindi x = 0 è un punto di massimo e vale ovviamente a. La derivata seconda è , si annulla per , internamente a questi valori è negativa quindi la concavità è verso il basso, esternamente è positiva quindi la concavità è verso l’alto. I flessi hanno coordinate . L’area è data, sfruttando la parità, da . L’int.indefinito quindi

 e poichè l’area del cerchio di raggio a/2 vale  l’asserto richiesto è dimostrato.

PROBLEMA 2

Sia con a,b,c numeri reali. Si determinino a,b,c in modo che:

1. la funzione f sia pari;

2. f(0)=2;

3.

la prima condizione diventa 

la seconda condizione diventa  semplicemente sostituendo

la terza condizione

risolvendo il sistema a tre equazioni e tre incognite a = 1, b =1 , c = 0

Si studi la funzione g ottenuta sostituendo ad a,b,c i valori così determinati e se ne disegni il

grafico G.

la funzione è   , esiste per ogni x reale, è sempre positiva perché somma di esponenziali, la derivata è  si annulla se x = 0, è positiva se x>0 e negativa se x<0 quindi il punto (0,2) è il minimo.

la  è sempre positiva quindi la concavità è verso l’alto.

Si consideri la retta r di equazione y=4 e si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti in cui essa interseca G, mettendo in atto un procedimento iterativo a scelta. Per quanto le ascisse sia calcolabili esattamente: l’equazione , il testo chiede un procedimento di approssimazione numerica. In qusto caso possiamo procedere in modo molto intuitivo controllando se g(x) è maggiore o minore di 4. per x= 2 la g(2)>4 per g(1,6)<4. Utilizzando quindi 1,6<x<2. Utilizzando intuitivamente la bisezione, proviamo per 1,8 : g(1,8)<4 quindi 1,8<x<2, ancora proviamo per 1,9: g(1,9)>4 quindi 1.8<x<1.9  (la soluzione approssimata è x = 1,89996 ottenibile continuando il processo iterativo.

Si calcoli l’area della regione finita del piano racchiusa tra r e G.

è data da . Questa è metà dell’area che è da moltiplicare per 2.

Si calcoli

Si determini la funzione g’ il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta r.

si ottiene mediante la simmetria di asse y = 4 di equazioni x’=x y’=8-y

quesiti

1. Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel

campionato italiano a 18 squadre? sono le disposizioni di 18 oggetti presi 2 a 2, senza ripetizione

2. Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.

A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C

ne contiene 1000 con il 10% difettose.

Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia

difettosa?

la probabilità di prendere da una delle tre scatole una lampadina difettosa è data da

dove P(A)=P(B)=P(C)=1/3 mentre le altre tre probabilità valgono 0,05   0,2  e 0,1 rispettivamente quindi (0,05+0,2+0,1)/3= 0,12 (approssimato)

3. Quale è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm?

indicando con x l’altezza del cono, il raggio sarà , con x che varia tra 0 e 2 (valori estremi  = volume nullo). Il volume è , la derivata è il valore che annulla, nell’intervallo richiesto dal problema è  (che è facilmente verificabile essere massimo).Il volume massimo vale in  in centilitri sarà

4. Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte.

una possibilità è determinare un polinomio che tagli quattro volte l’asse x (ad esempio    che si annulla quattro volte e traslarlo  mediante x’=x e y’=y+2; si ottiene   la curva cercata.

5. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-1719)],

che se l’equazione:  ammette ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione: .  Il teorema di Rolle è applicabile al polinomio in quanto funzione continua e derivabile su tutto R. I punti dove il polinomio ammette radici sono le radici dell’equazione proposta e i valori che il polinomio per i valori della radice saranno uguale (poiché entrambi 0). allora per il teorema, esiste almeno un punto tra le due radici dove la derivata P’(x) è 0. P’(x)=0 è la seconda equazione proposta che avrà quindi almeno una soluzione.

6. Si vuole che l’equazione  abbia tre radici reali. Quale è un possibile valore di b? la funzione associata y=... è una cubica, affinchè abbia tre incontri con l’asse x, deve avere un massimo e un minimo; in più devono essere di segno discorde. Affinchè ci sia un massimo e un minimo consideriamo la derivata di tale funzione che sarà si annulla per quindi deve essere b<0 ; tra i vari b possiamo scegliere b= - 27 che da un massimo e un minimo di segno opposto.  esattamente in 3 e in –3.

 soluzione a cura Toschi Roberto (docente del Liceo ‘Enriques’ di Livorno)

7.Verificare l’uguaglianza e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di p, applicando un metodo di integrazione

numerica.

 attraverso un qualsiasi metodo di approssimazione numerica può essere calcolato l’integrale. provando con 5 intervalli di ampiezza 0,2 e prendendo il punto medio all’interno dell’intervallo (0.1, 0.3...) otteniamo i valori sotto elencati, moltiplicando per la base del rettangolo 0,2, sommando le aree così ottenute e moltiplicando  per 4 otteniamo come valore 3,14.

8. Dare un esempio di solido il cui volume è dato da   una possibilità è data dalla rotazione di intorno all’asse x tra 0 e 1.

9. Di una funzione f(x) si sa che ha derivata seconda uguale a senx e f’(0)=1.Quanto vale  la funzione avrà derivata pari a  e questo implica che c = 2 per i dati

quindi  da cui

10. Verificare che l’equazione  ammette tre radici reali. Di una di esse, quella

compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici

studiati.  per la prima verifica basta considerate le due funzioni e  e mostrare graficamente che hanno tre intersezioni che corrispondono alle tre soluzioni dell’equazione data

per quando concerne la soluzione da approssimare

considerando che la cubica a ½ vale 1/8 e la retta vale ½  deduciamo che  la soluzione è tale che 0<x<1/2. Stessa osservazione per ¼.

la cubica vale 1/64 mentre la retta vale –1/4. La soluzione è ¼<x<1/2

Ovvero tra 0,25 e 0,5; provando 0,375 la cubica vale 0.05 mentre la retta 0.125 (la retta sta sopra) 0,25<x<0,375 proviamo per 0,31 la cubica è positiva e la retta negativa (sta sotto) quindi 0,31<x<0,38 ecc.