Prepariamo il compito del 21.10.02

1)      data la parabola  dette A e B le sue intersezioni con l’asse x e V il vertice, determina

a.       per quali valori di k la retta interseca la parabola

detto M il punto medio delle intersezioni tra la parabola e la retta sopra quanto vale

facendo il sistema tra parabola e retta e ponendo il delta maggiore o uguale a zero si ottiene k<11, per k =11 si ottiene ovviamente la retta tangente

determiniamo le coordinate del punto M in funzione di k

sistema tra parabola e retta dà due punti di intersezione  quindi il punto medio M sta sulla retta x = 4 con la y = -8+k

l’area MAB sarà data da (AB * MH)/2 con AB che vale 4 quindi    

il vertice V è (3, 4)  quindi

ponendo il valore assoluto uguale a 8-k perché il limite ci interessa per k che tende a zero

quindi

2)      in un triangolo isoscele ABC di base AB è inscritto un cerchio di raggio unitario. Indicato con T il punto di contatto tra le circonferenza con BC ponete AB=2x e CT=y  ed esprimete y in funzione di x. Rappresentate la funzione così ottenuta (per qualsiasi x) indicando il tratto che ha senso per il problema.

Facendo la figura abbiamo la seguente proporzione  elevando al quadrato ed esplicitando la y otteniamo il cui grafico è quello in figura

(descrivi gli elementi dominio, intersezioni, segno, limiti, asintoti.) La parte che ha senso per il problema è per le x>1 perché per x compreso tra 0 e 1 otteniamo una y negativa (ci si dovrebbe però chiedere cosa è successo elevando al quadrato)

3)      esamina i punti di discontinuità per la seguente funzione

la funzione non è definita in x =  0 il limite per x che tende a 0 va a infinito la discontinuità è di II specie mentre non è definita per x = -3 ma il limite in questo caso tende a –1/27 quindi la discontinuità è eliminabile

4)      4) data la funzione   determinare per quale valore del parametro a la funzione è continua in  .Dopo aver determinato ogni altro elemento necessario , rappresentare un grafico qualitativo della funzione ottenuta.

Il limite per x che tende a 1- dà 1+a

Il limite per x che tende a 1+ dà 3 quindi 1+a=3 da cui a= 2

Il grafico è quello in figura.

5)      risolvi i limiti

altri limiti potete trovarli sul testo.

6)      E’ data la funzione , disegnane il grafico, determina se la funzione ha qualche simmetria e verificalo attraverso le equazioni della simmetria.

La funzione è simmetrica rispetto all’asse x =2

 Le equazioni della trasformazione sono

  e sostituendo si ha

 che è ancora la stessa equazione. FINE