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1) E’ data la conica di equazione ,

a. dopo aver considerato di che si tratta di un’ellisse e aver detto perché, determina le equazioni di una rotazione che porti la conica ad avere l’asse focale coincidente con l’asse y.

b. Verifica che il triangolo che ha per base l’asse minore e il terzo vertice sull’ellisse, ha l’area in funzione di x rappresentata da una delle due semiellissi e determina allora il valore massimo di questa area.

c. Determina poi la trasformazione che trasforma l’ellisse in una circonferenza

d. Trova l’immagine del triangolo di area massima trovato prima e trovane l’area.

la trasformazione è

cioè una rotazione di 45° in senso orario (ovvero di –45°)

e otteniamo una ellisse di equazione

il triangolo ha base 2, l’altezza quindi che corrisponde alla semiellisse superiore quindi deduciamo che l’area è massima quando è massimo il valore della y, ovvero quando x è 0.

la dilatazione è e la circonferenza che otteniamo è , poiché il determinante è ½ , l’area dell’immagine del triangolo di area massima è 1.

2) risolvi la disequazione

3) dati i punti A( 1 , 0 ) e B(- 2 , 3 ).

a. Scrivi in forma parametrica la retta passante per A e B.

b. Trovato il vettore direzione determina un vettore ad esso perpendicolare e la retta passante per A che per direzione ha il vettore trovato. (in forma parametrica)

un vettore può essere quindi la retta

c. Considera il parallelogramma che ha due lati lungo le direzione dei due vettori determinati al punto b (con O vertice del parallelogramma). Determina, a partire dai vettori che hai usato come direzione, per quali scalari devi moltiplicare ogni vettore affinché il quadrilatero abbia area 10, il problema ha una soluzione unica? e se vogliamo che il quadrilatero sia un quadrato (se possibile)?

dobbiamo determinare i moduli dei vettori scelti: in entrambi sono

quindi quindi la soluzione non è unica, ma se vogliamo che il quadrilatero che è sicuramente un rettangolo sia un quadrato i due lati saranno uguali quindi