23 gennaio ’03

compito di matematica CLASSE 4 D

1) Dato in quadrato ABCD di lato l, determina sulla semicirconferenza di diametro AB esterna al quadrato un punto P in modo che risulti: . Ti consiglio di usare come incognita l’angolo .

utilizzando l’incognita proposta, il teorema di Carnot applicato al triangolo APD porta a  essendo  mentre il teorema di Carnot applicato al triangolo PBC porta a  sommando e sviluppando le formule otteniamo da cui considerando che l’angolo scelto può variare tra 0 e /2 le soluzioni saranno x = /6 e x = /3 ovviamente le due soluzioni rispondo bene ad una simmetria rispetto ad un asse che lascia unita la figura

2) I SISTEMI: discuti e risolvi

il determinante del sistema è  vale 0 se h = 0 o h = 4

quindi per h diverso da 0 e da 4 il sistema ha un’unica soluzione.

per h = 0 il sistema diventa impossibile come può essere visto dalla matrice in quando il rango dell’I è 1 mentre quello della C è 2. (sostituendo nel sistema si ha y =3 e y = 1 che è chiaramente assurdo)

 per h = 4 il sistema diventa indeterminato infatti ogni colonna è multipla dell’altra. Se consideriamo la seconda equazione possiamo scrivere 4x –y = 1 e otteniamo y = 4x –1 da cui la soluzione può essere x = t e y = 4t – 1 .

consideriamo la matrice il sistema è omogeneo quindi tutto dipende dal rango dell’incompleta che in questo caso è 2 (la matrice formata dalle prime due colonne è non singolare). posso parametrizzare l’ultima incognita e allora ho da risolvere il sistema

 notare che in questo c’è compresa anche la soluzione (0,0)

3) I GRUPPI

analizza la tabella e scopri se è un gruppo

I)

la tabella non rappresenta un gruppo poichè, pur essendo l’operazione chiusa, pur essendo l’elemento neutro z, pur essendoci l’inverso per ogni elemento (l’elemento stesso) non vale la proprietà associativa infatti

y*(y*x)=y*y=z ma (y*y)*x=z*x=x

II)

E’ dato l’insieme  con l’usuale operazione di prodotto nell’insieme dei numeri complessi. Costruiscine la tabella e dimostra che l’insieme con detta operazione ha una struttura di gruppo.

nonostante che z sia preso nei numeri complessi le radici quadrate di 1 sono –1 e 1; la tabella moltiplicativa è

è un gruppo in quanto siamo in un sottinsieme numerico con l’ordinaria moltiplicazione quindi vale la proprietà associativa. L’elemento neutro è 1, l’inverso di –1 e –1 . il gruppo è abeliano.

4) I NUMERI COMPLESSI.

i.semplifica l’espressione:

ii. dato il numero i, determina i numeri  z tali che  (ovvero le radici cubiche di i), scrivili in forma trigonometrica e algebrica e rappresentali su un piano cartesiano.

         da cui otteniamo e    i numeri cercati sono

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